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delle due rette, varia col variare della coppia tt 2 ,7t' 2 . Perciò le 0,0' non 

 sono linee non fondamentali omologhe, ma sono linee fondamentali di 2 a 

 specie fra loro omologhe. 



Così nella corrispondenza che si ha fra le tt 2 ,tt' 2 , alle cubiche basi 

 o 3 , O3 corrispondono rispettivamente due cubiche v\ , v 3 le quali variano col 

 variare della coppia tt 2 tt 2 ; e però le 03,03 sono linee fondamentali di 1* 

 specie della X negli spazi S , S'. 



Nè la corrispondenza X presenta altre linee fondamentali oltre quelle 

 indicate. 



Nella corrispondenza subordinata alla X che intercede fra le quadriche 

 omologhe rc 2 , ri 2 dei fasci Q> , <P' . ad una conica generica c 2 della prima 

 superficie corrisponde ima conica c' 2 dell'altra. 



Tenendo fisso il piano ip della c 2 e facendo variare la coppia rt 2 n 2 , 

 la c 2 varia sulla superfìcie xp\ omologa nella X del piano xp, descrivendo 

 su di essa un fascio F' proiettivo al fascio F descritto dalla c 2 sul piano xp . 



E come la c % in ogni sua posizione si appoggia alla soltanto nel 

 punto O = oxp, così la c\ in ogni sua posizione si appoggia alla 0' in un 

 solo punto. Inoltre fissato sulla retta 0' un punto generico 0', vi sono k coppie 

 di quadriche omologhe 7i 2 n' 2 , sulle quali risultano omologhi i punti 0,0', 

 e però esistono sulla xp' k coniche del fascio F' che passano pel punto 0'. 



Ne segue che i piani delle coniche c' 2 costituiscono un inviluppo razio- 

 nale di classe k riferito proiettivamente al fascio di quadriche <!>'. La su- 

 perfìcie generata dalle due forme proiettive è la xp' : questa perciò risulta 

 essere una superfìcie xp'^+i = o' ll o'^ r[ t) , per 8 = 1,2, ... 2k . 



Quel che si è detto per le superficie omologhe dei piani dello spazio S, 

 può ripetersi analogamente per le superficie omologhe dei piani dello spazio S'; 

 e si conclude che la corrispondenza X presenta le rette fondamentali di 

 2 a specie , fra loro omologhe, multiple di ordine k, sicché per k^> 1 

 non si verifica per la corrispondenza la proprietà enunciata da Cremona. 



La superfìcie a' dello spazio S' omologa della cubica fondamentale o 3 , 

 assieme con una quadrica n' 2 del fascio £>' forma la superficie completa di 

 ordine 2(2k-\-\) omologa nella X di una quadrica n 2 del fascio <f>. 



Perciò la a' è di ordine 4k . 



Una corda della cubica 03, essendo omologa nella X di una corda della 

 cubica o 3 , sega la a' in due punti fuori della 03: questa perciò è multipla 



per la a' di ordine — - = 2^ — 1. 



Li 



Così una retta appoggiata alle o',o 3 , essendo omologa nella X di una 

 retta appoggiata alle , o 3 , sega la a' in un punto fuori delle o',o 3 : perciò 

 la 03 è multipla per la g' di ordine 2k. 



Quel che si è detto per la superficie dello spazio S' omologa della o 3 , 

 può ripetersi per la superficie dello spazio S omologa della o 3 . 



Kendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 55 



