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5. Voici d'autres conséquences de la formule (16); en posant 

 y> n (t)= tr* J n +At) 2™r(n + v + 1) 



on a 



(17) (p n (t) = /"+ )L(t,T)T n dz 

 avec 



L(f. *) = *(*,*) (yV. 

 On en déduit que les développements 



(18) a <j> {t) + «i 9»i (0 + «8 y« (0 H h «»» sp» (OH — 



ont, si v > — 1 , les mémes propriétés que les développements 



(19) a J o (0 + «i Ji(0H h«n J»(0 + 



La méthode de démonstration est exactement la méme ('): si f(t) est 

 analytique dans le cercle 1 1 \ <[ R on en déduit, par la transformation 



(20) f{t) = <p{t)+ ( t L(t,t)cp(z)dT 



une fonction <j>(t) analytique dans le méme cercle. Donc (p(t) a le dévelop- 

 pement convergeant 



(21) 9»(0 = ao + fliH h«n <" + '••; 



d'où par la transformation (20) 



(22) fl<)«=o,jl + j^L(/,r)<fcj-|- 



+ «1 | * H* L(t,T)z dtì-\- ••• s= «oSMO + «i 9>i(0 H H a n (p n {t) + - 



convergeant pour |/|<R. Comme d'après (17) on a 



s tendant vers zero pour n très grand, la serie (22) diverge partout à 

 l'extérieur du cercle de convergence de (21). 



Si au contraire f(t) est simplement continue, il en est de mème de 

 (f{t). On peut alors développer (p(t) en sèrie uniformément convergente de 



(') Loc. cit. Note précédente. 



