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In uno spazio ad n dimensioni S„ si considerino ordinatamente due 

 spazii S,, , R ft ad h — 1 . k — 1 dimensioni rispettivamente, e, con essi, due 

 altri spazii analoghi S h r ,R h r ad K — 1 , k' — 1 dimensioni, e siano i primi 

 rappresentati dai prodotti progressivi: 



(1) S/, = Sj s 2 s h , R ft = r, r 2 ... r k (h < k supponiamo) 

 e i secondi dai prodotti analoghi : 



(1') S h r = s[ s\ ... s' h ' , R ft ? = ri r\ ... r' k t (h' <. k' supponiamo) 



dove gli s,r sono punti distinti, e così pure gli s',r', e dove h-\-k, 

 h' -f- k' abbiano valori qualsivoglia in ordine ad n -\- 1 . 



Per uno spazio X g a g — 1 dimensioni, rappresentato dal prodotto pro- 

 gressivo : 



(2) X g = x 1 z t ...Xg (g<Cn-{-l) 



dei punti x x , x% , ... , x g , passeranno due spazii M T , M x r a x — 1 e %' — 1 

 dimensioni, dati dai prodotti regressivi: 



(3) M T = S\ s 2 ... Sh X g • r x r 2 ... X (J = 



= 2(s, s 2 ... s A X g r il r u ... r fp ) r h r jt ... r, fe _ p X 3 



M T r = s', s 2 ... s A r X 3 • K r 2 ... r' k , \ 9 = 



= 2(sl s' t ... * A , X y K, r; s ... rf p/ ) rj, rf, ... r; fe/ _ p/ X 9 



con 



t=h-\- k-\-2g — + 1) , ^ = V + ^' + 2^— (n + 1) 



dove iìit — io iji fi —jh-a sono due permutazioni principali complementari 

 degli indici 1,2,...,/% di classi £> , A — e rispettivamente, ed ?, ... « p r , 

 jxfi — jv-f due permutazioni analoghe dei numeri 1 , 2 , ... , k' di classi 

 q' , k' — q' , posto che sia: 



(4) + + , ^■ =sn + i__ ( v + ^) 



ciò che implica necessariamente : -f- ^ <d w -j- 1 , h' -\- g <Cn -\- l . 



lineari tripli dei due spazii, fra i quali intercede, e le cui jacobiane si spezzano nelle 

 quattro quadriche che passano per quegli assi presi tre a tre. In un caso particolare 

 essa diventa quella incontrata per la l a volta dal Cremona, quale corrispondenza birazio- 

 nale reciproca del tipo (cfr. Opere Matematiche, voi. II, Mem. 36, pag. 11; e Del Ke, 

 Addizioni alla Nota: Sui sistemi lineari tripli di monoidi d'ordine n etc, Eend. Acc. 

 Napoli, 1913); ed ha poi pure altri casi particolari, che portano seco particolari notevoli 

 per le superficie. 



