— 433 — 



Prenons un intervalle ah (a < b) et definissons à l'intérieur de cet 

 intervalle, la fonction G x (x,y) égale à \ si x^>y età — \ si x<Cy: 

 pour x = y , posons Gx(x ,x) = 0. 



Considérons l'ensemble des noyaux ite'rés de Gi(x,y)^ définis par la 

 relation de récurrenee 



G p {x . y) = f G x {x , s) G p -i(s , y) ds . 



J a 



Ces noyaux jouissent de propriéte's générales intéressantes ( l ) et per- 

 mettent de faire une étude systématique des problèmes bilocaux dans la 

 théorie des équations diftérentielles linéaires. 



Soit l'équation différentielle 



(i) ^ n + «^)^ + --- + ^)y = nx) 



et proposons-nous, pour prendre un problème bilocal simple, de déterminer 

 l'intégrale de (1) qui prend, ainsi que ses n — 1 premières de'rivées succes- 

 sives, des valeurs e'gales et de signe contraire, aux points et 1. 

 En prenant cernine fonction inconnue auxiliaire 



l'équation intégrale du problème s'obtient immédiatement sous la forme: 



SP(<^)+ ( Ma) Gti(x , s) + a»(x) G 2 {x , s) + 



+ •••■+■ a»{x) G„(x , s)] (f(s) ds = f(x) . 



C'est une équation de Fredholm, mise sous une forme analogue à celle que 

 l'on rencontre lorsqu'on traite le problème de Cauchy à Faide de l'équation 

 de Volterra. 



En faisant tendre n vers Fintini, on obtient sans peine l'extension 

 que nous avons en vue. 



Si les coefficients a n (x) restent bornés et <1 M , il est facile de voir 

 en effet, que l'expression 



cti(x) G x {x ,«/) + ••■ + a n (x) G„{x , y) -f- ■ • • 



représente une sèrie régulièrement convergente dans l' intervalle ab, car on a, 

 dans cet intervalle: 



\& n {x,y)\^. 



(') T. Lalesco, Sur l'application des équations intégrales aux équations différtn- 

 tielles linéaires (Comptes Rendus de l'Ac. des Sciences de Paris 6 Mai 1918). 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 60 



