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La résolution du problème bilocal considero, pour une équation diffé- 

 rentielle linéaire d'ordre infini, revient donc a la résolution d'une équation 

 de Fredholm, dont le noyau présente, si les coefficients a n (x) sont bornés 

 et qneleonques, un large caractére de généralité. 



Tous les autres problèmes bilocaux de la théorie des équations diffé- 

 rentielles linéaires, d'ordre fini ou infini, se réduisent à des équations de 

 Fredholm analogues. Le noyau a la forme generale y suivante: 



th{x) [Gi(as , y) + ?,(y)] -\ (- a n {x) [G n (x , y) + g n (y)~] -f • • • 



où g n (y) désigne un polynome en y de degré inférieur à n. 



Matematica. — Sopra una classe di nuclei semi-definiti 

 positivi. Nota di Ernesto Laura, presentata dal Socio Tullio 

 Levi-Civita. 



1. Indichiamo con A<n> l'operatore di Laplace a n variabili: 



~ò z . 7) 2 . | 

 A(>i) = T^J + H h ì? n 



e con u(r) l'integrale dell'equazione: 



(1) A(«,w -f u = 



funzione della sola distanza r=j / \x ì — x[ ) 2 + ■•■"+ {x n — x'„) 2 e rego- 

 lare per r = . 



Lo scopo di questa Nota è di dimostrare che l'espressione: 



f f ?/(r) u(?)fi(?')dS P ^S P . 



J& Js 



dove r = |PP'|, fi è una funzione reale, continua dei punti del campo S 

 tutto situato al finitogli quale è una porzione di S„ o di P„_i , ... , o di F , 



è riducibile ad una somma di quadrati ed è quindi qualunque sia 

 la funzione fi. 



2. Notiamo perciò che, se con J„(r) indico . la funzione di Bessel di 

 ordine n e di 1* specie, 1" integrale u(r) vale : 



r 2 2 



E poiché: 



n— 2 



