potremo porre la u(r), sopprimendo una costante moltiplicativa, sotto' la 

 forma : 



(2) u(r)= cos(r cos cp) sen n-2 9 d<p . 



Questa forinola si può anzi verificare facilmente, osservando che: 



, . „ . n — 1 , 

 A ( n)U(r) = u -\ u . 



dove gli accenti indicano derivazioni rispetto a r. 

 Avremo dunque : 



f 



cos(r cos g>) cos 2 g> sen n_2 <p — 

 n—l 



sen (r cos <p) cos <p sen" -2 <p~^ d<f> . 



E poiché, con una integrazione per parti, si ha: 



sen (r cos y>) cos g> sen" -2 ^ dcp = ) cos (r cos <p) sen" 9 d<p 



avremo pure : 



A m u(r)= | — cos (r cos cp) [cos 2 (/ sen n_s ^ -f- sen rt 9>] dg> = — u(r) 



c. d. d. 



3. Il risultato contenuto nella (2) si può interpretare nel seguente modo. 

 Sia dia l'elemento superficiale della ipersfera unitaria : 



X x 'l = 1 

 e consideriamo l'integrale [n — l) pl ° : 



(~ cos [xi — x[) u x -f • • • -f (%n — x'n) ««] dm , 



dove le (a, , a t , ... , «„) indicano le coordinate omogenee di dm. Introdu- 

 ciamo come coordinate di un punto sopra co, un sistema di coordinate geo- 

 grafiche, l'asse polare delle quali sia parallelo alla retta congiungente i 

 punti (ai % t ... x n ) (x[ x' t ... x' n ). Se a è la colatitudine e u x ,u t , ... , w„_ 8 1© 

 variabili rimanenti, si ha: 



dm = sen Ut sen 2 u 3 ... sen" -3 u n -t sen n-2 a du x du% ... du„^ z da 

 (%i — x[) «i -j- • • • -f- (x n — x'^) a n = r cos a 



