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dove ho posto, come precedentemente, r — j/a;, — x'if -f- ■ • • -4- (#„ — x' n ) 1 . 

 Avremo perciò: 



cos [(x, — x[) «i + ..■ • • -f {x n — a£) «„] tìta = 



= C ( cos (r cos a) sen n-2 a da , 



e C è una costante che si calcola facilmente. Si conclude dunque: l'inte- 

 grale della (1) funzione della sola r e regolare per r = si può porre 

 sotto la forma: 



u(r) = cos [(^i — x[) ai -f- • • • -)- (x„ + x' n ) a„] doo , 



dote cu è una ipersfera unitaria e (a 1 , a 2 , ... , a n ) sono le coordinate 

 omogenee di doo> 

 3. Poniamo: 



V = COS \_{X 1 —X[) «! + ••■ + (X n — X n ) « n ] /*(P) ^(P') dS P dS P ' 



S^S 



la S e la (i avendo il significato del n. 1. Facendo la posizione: 



si ricava subito: 



A P = x x u y -j- • • • + %n f*n 

 K' = x[ ai -j- ■ • • + x'n a n 



(3) V = f f cos (A P — K>) ^(P) fi(Y) dS„ dS P , = 



Js J$ 



= j^£cosA P ^i(P) ^Sp^ + j^J sen K dS P ~J . 



Integriamo la V rispetto alle {a x , a 2 , ... , a„) ed estendiamo l'integra- 

 zione ad una sfera unitaria co. Avremo: 



Cydaf= f f ^(P) /i(P') dS P dS P , X 



JsJs 



X cos [(a?! — 2c[) a, H [- (cc„ — x'n) a B ] eta . 



L'integrale superficiale, per quanto precede, vale u(r). Dalla (3) con- 

 segue dunque: 



(4) f f u(r) ^(P) ^(P') dS P dS P r = 



^WsJ 



= J~ |~JT cos Ap ^(P) rfSpJ* + j" d»£ £ sen A P n(F) dS P ~J 



