— 439 — 



Date k successive corrispondenze XJ, 1 ' , ... X 3 ft) delti po indicato che in- 

 tercedano rispettivamente fra gli spazi S, Si ; Sj , S» ; ... S k -i , S', /;er # > 1, 

 se sempre due corrispondenze successive Xj," ,X^ i+1) , per *'=1,... A — 1, 

 hanno in comune nello spazio S (<> la cubica gobba fondamentale e la retta 

 fondamentale di 2 a specie,, senza presentare ulteriori parti colar Uà J la 

 corrispondenza prodotto 



X 3 " X Xf ... x xjp 



è una corrispondenza X 2fc+1 del tipo in esame. 



Per dimostrare il teorema basta effettuare il prodotto indicato. 



Se la prima e l'ultima corrispondenza data hanno rispettivamente negli 

 spazi S , S' le cubiche fondamentali 03,03 e le rette fondamentali di 2 a 

 specie , 0', nella corrispondenza prodotto alla congruenza lineare di rette Q 

 che ha per direttrici le , o 3 , corrisponde la congruenza lineare di rette Q' 

 che ha per direttrici le 0' , o' 3 , e sempre due punteggiate che abbiano per 

 sostegni due raggi omologhi r , r delle due congruenze, si corrispondono 

 con proiettività non degenere, nella quale al punto = ro corrisponde il 

 punto 0' = r'd . 



In generale se in due spazi S , S' sono date due congruenze lineari di 

 curve Q , Q' riferite fra di loro con corrispondenza biunivoca, e se sempre 

 per ogni coppia di linee omologhe r . r delle due congruenze resta deter- 

 minata una corrispondenza biunivoca H, T r fra i punti delle due linee, il 

 sistema di tutte queste corrispondenze R rr > costituisce una corrispondenza 

 birazionale X fra i punti degli spazi S , S' . 



Ora affinchè una linea direttrice della Q ed una linea direttrice 0' 

 della Q' risultino linee fondamentali di 2* specie omologhe nella corrispon- 

 denza X , è necessario e sufficiente che si verifichino le seguenti condizioni : 

 1° in ogni corrispondenza il punto i punti variabili di appoggio 

 della linea r alla debbono avere per omologhi il punto i punti varia- 

 bili di appoggio della linea r alla d ; 



2° un punto generico della ed un punto generico 0' della jù 

 debbono appartenere a k coppie di linee omologhe della congruenza, per 

 £>0; 



3° se esistono coppie di linee omologhe rr delle due congruenze, 

 per le quali le corrispondenze H^r presentino punti singolari, nessuno di 

 questi punti soltanto un numero finito deve cadere sulle , d rispettiva- 

 mente. 



In tali condizioni può dirsi che ad ogni punto generico della linea 

 dello spazio S (0 della linea dello spazio S') corrisponde nell'altro spazio 

 la 0' (0 la 0) contata k volte e che perciò se le , d sono rispettivamente 

 degli ordini v , v , esse risultano multiple rispettivamente di ordine kv , kv 



