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per le superfìcie dello spazio S , o dello spazio S', omologhe dei piani del- 

 l'altro spazio. 



Ma a giustificare rigorosamente quest'asserzione occorre il ragionamento 



che segue: 



Un piano generico xp dello spazio S è segato in fi punti P da una curva 

 generica r della congruenza Q, se fi è l'ordine delle curve della congruenza. 

 Corrispondentemente nello spazio S' la superficie xp' omologa del piano xp 

 è segata da una curva generica della congruenza Q\ fuori delle linee diret- 

 trici e dei punti base della congruenza, in fx punti P'. 



Oia si fissi uno qualunque dei v punti di sezione della linea o col 

 piano xp — e sia il punto — e per un punto generico 0' della linea o' 

 si considerino le k curve r' della congruenza Q' che escono dal punto 0' e 

 sono omologhe di curve r della congruenza Q che passano pel punto 0. 



Su ciascuna delle k linee r' ora indicate uno dei fi punti P' del caso 

 generale coincide col punto 0', e però la superficie xp' risulta tangente nel 

 punto 0' ai k piani che la tangente nel punto 0' alla linea o' determina 

 rispettivamente con le tangenti nello stesso punto alle k linee r' ora indicate. 



Ripetendo per tutti i v punti 0, sezioni del piano xp con la o, ciò 

 che si è detto per uno di essi, si deduce che la superficie xp' ha una linea 

 multipla di ordine kv nella o' . 



Inoltre dal ragionamento fatto segue che ai piani xp dello spazio S 

 che hanno in comune un punto della curva o, corrispondono superficie xp' 

 dello spazio S' che in ogni punto 0' della o' hanno in comune k piani tan- 

 genti, sicché nella sezione di due siffatte superficie Ja linea o' conta per 

 una linea semplice di ordine v' . (kv)* -\- kv' , mentre in generale nella se- 

 zione di due superficie xp' , omologhe di due piani generici dello spazio S, 

 la linea o' conta per una linea semplice di ordine v' .(kv)*. 



Ciò prova che nella corrispondenza X se ad una retta generica dello 

 spazio S corrisponde nello spazio S' una curva di ordine n, ad una retta 

 dello spazio S appoggiata alla o nel punto 0, corrisponde una curva di 

 ordine n — kv' . 



Questo fatto può esprimersi dicendo che al punto corrisponde nello 

 spazio S' una linea di ordine kv infinitamente prossima alla linea o su 

 tutte le superficie xp' omologhe dei piani della stella (0), sicché ad una 

 retta di tale stella corrisponde, oltre all'anzidetta linea, un'ulteriore curva 

 di ordine n — kv' . 



Ed analogamente per lo spazio S. 



Ciò posto, avendo già dimostrata l'esistenza di una corrispondenza Ir- 

 razionale X dotata di due rette fondamentali di 2 a specie omologhe mul- 

 tiple di ordine k per la corrispondenza, essendo k un numero intero arbi- 

 trario, è agevole dedurre ulteriormente l'esistenza di corrispondenze biunivoche 

 spaziali dotate di due linee fondamentali di ordine v , V, multiple rispetti- 



