e rimangono soddisfatte, attribuendo alle x' r (r = 1 , 2 , ... , m) valori costanti 

 arbitrari, e alle X\ (i = m ~\- 1 , ... , ?i) valori pure costanti, definiti dalle 

 equazioni 



7>(T— U) 



(«' = m -j- 1 , ... , a) 



dove beninteso si sieno posti per le x r i valori scelti, e zero per le x\. 



~c>T 



Si fa così corrispondere al sistema degli integrali — r = costante, una 



~òX r 



classe co 2 »» di soluzioni particolari, assai notevoli, perchè rappresentano moti 

 stazionari del sistema, per i quali la questione della stabilità si decide, 

 come nel caso dell' equilibrio, mediante la semplice ispezione dell' integrale 

 delle forze vive T — U = cosi 



Mostra infatti il sig. Eouth come, eliminando le x' r dalla espressione 



della forza viva, a mezzo degli integrali —7 = u r , questa assume la forma 



~ÒX ■)• 



T -f- P , dove T è una forma quadratica nelle rimanenti x' e F una fun- 

 zione delle sole x. 



Le equazioni del moto conservano la forma lagrangiana, non direttamente 

 rispetto alla espressione ridotta T -f- F della forza viva, ma alla 



m 



T-fF — y_UrX' r 

 1 



(dove pure sono da ritenersi eliminate le x' r a mezzo degli integrali). 



Comunque, per gli accennati moti stazionari, si annullano evidente- 

 mente tutte le derivate della funzione T-|-F — U, rapporto alle 2(n — m) 

 variabili Xi,x\. Eitenuto pertanto che le costanti u r abbiano valori fissi, le 

 condizioni quantitative perchè T -J- F — U ammetta un minimo risultano 

 soddisfatte, ed è giustificato assumere la esistenza effettiva di questo minimo 

 come criterio di stabilità — di fronte alla classe dei movimenti, per cui 

 le u r conservano gli stessi valori — appoggiandosi sopra il teorema di 

 Dirichlet. (Il teorema di Liapounoff mostrerebbe poi facilmente che in ogni 

 altro caso c' è instabilità). 



L'interesse di queste considerazioni mi ha indotto a ricercare se esse 

 non fossero per avventura estensibili ai casi, in cui un sistema dinamico am- 

 mette degli integrali primi di forma qualsiasi. 



La generalizzazione si presenta spontanea quando le equazioni del moto 

 si assumono sotto forma canonica. Si dimostra infatti (e ciò per qualsiasi 

 sistema canonico) che, ad ogni insieme di m relazioni invarianti (0 in 

 particolare integrali) in involuzione, corrisponde — purché sia soddisfatta 

 un' ovvia condizione di indipendenza, di cui a § 2 — una classe di oo m 

 almeno (nel caso degli integrali oo 2 "') soluzioni, la cui determinazione di- 

 pende dalla integrazione di un sistema d'ordine m — 1, al più. 



