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cedenti equazioni (7) divengono 



(7') 



(r = 1 , 2 , ... , m ; i = m -f- 1 , ... , n) . 



Sono dunque nulli i secondi membri delle (6'). 



c. d. d. 



Osservazione. Nel teorema è evidentemente implicita la condizione che 

 le equazioni (B) sieno compatibili, cioè che esistano effettivamente dei va- 

 lori Xì^,])^ delle x,p, per cui esse riescono soddisfatte ('). E per verità 

 il passaggio formale dalle (6) e (7) alle (6') e (7') — in che riposa la di- 

 mostrazione del teorema — è lecito, solo in quanto, esistendo soluzioni 

 •£i (0) ,Pi i0 \ si possa riferirsi a uno di questi sistemi di valori. È poi bene 

 inteso che le funzioni tutte, qui considerate, si suppongono regolari, almeno 

 in un certo intorno degli accennati valori Xi (0) , p^. 



2. Soluzioni particolari. — La proposizione, or ora dimostrata, per- 

 mette di trovare con molta facilità alcune soluzioni particolari del proposto 

 sistema (C). 



Supponiamo le (B) tutte indipendenti e risolubili rispetto alle p m+1 , ... p»; 

 x m+ì , ... , x n (ciò, che implica tra altro che le (A) sieno distinte da H = cost, 

 nel qual caso la H si riduce ad una costante e le (B) ad altrettante iden- 

 tità). Dalle (B) ed (A) potremo ricavare le 2n — m variabili p , x m +i , — , x„, 

 in funzione delle rimanenti m, X\ , x 2 , ... , x m . 



Per il carattere invariante delle (A) e (B), facendo queste sostituzioni 

 nel sistema differenziale (C), devono rimanere in tutto m equazioni indipen- 

 denti (quelle, che esprimono , , ... , in funzione delle stesse x), 



le altre risultando identicamente soddisfatte. Ogni soluzione di questo sistema 

 ridotto (Ci) fornisce senz'altro una soluzione di (C). Basta aggiungervi le 

 rimanenti variabili, definite dalle (A), (B). 



Rispetto all'integrazione di (Ci), si osserverà che essa è al più una 

 operazione d'ordine m — 1, poiché il sistema ammette l' integrale H = cost 

 [o più precisamente quello, che se ne ottiene, esprimendo la H per le sole 

 X\ , x% , ... , Xm , a mezzo delle (A) e (B)]. Altre semplificazioni interven- 

 gono quando si conoscono integrali del sistema primitivo (C), indipendenti 



(') Ciò accadrà in generale, poiché si tratta di 2(n — m) equazioni tra 2(n — m)-\-m 

 variabili. Quando poi le (B) ammettono soluzioni comuni, lo stesso può dirsi senz'altro 

 del sistema complessivo (Ai), (B), poiché le (Ai) si presentano risolute rispetto a varia- 

 bili, che non entrano nelle (B). 



