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le equazioni, che definiscono il movimento) la espressione della energia H' 

 rimane indipendente da t, in seguito alla trasformazione lineare 



(10) P, = (fi(t) + tu , Xt = ipi(t) + li (2 = 1,2, ... , n). 



Supponendo di circoscrivere la classe dei movimenti del dato sistema, 

 col considerare soltanto quelli, che soddisfanno alle relazioni invarianti (Ai), 

 vien naturale di estendere la definizione di stazionarietà, al modo stesso che 

 ciò si suol fare per la stabilità. Stazionari in senso relativo sono dunque 

 a dirsi quei movimenti, per cui la condizione, teste dichiarata, rimane 

 soddisfatta, in virtù delle relazioni invarianti. 



Data la forma speciale delle (Ai), la caratteristica della stazionarietà 

 relativa si può manifestamente enunciare come segue: 



La funzione H' deve conservarsi indipendente da t, anche dopo la 

 sostituzione 



j Pi = g>i(t) -f- ni (i = m + 1 , ... , n) , 

 1 ) (X.= Vi(0 + à (e = l,2,...,w). 



È chiaro adesso che le nostre soluzioni 2 corrispondono tutte a moti per- 

 manenti. 



Infatti, adottando le variabili X e P, le funzioni g>i(t) , ipi(t) 

 {i = m -j- 1 ) — , n) sono, per ogni 2, delle costanti a, , # , come abbiani visto. 

 Da t dipenderanno in generale Xj , X 2 , ... , X m , le quali però non entrano 

 in H'. Eseguire la sostituzione (11) in H' equivale dunque a scambiarvi 

 Pi , Xj (i — m-\-l, ... , n) in a* -f~ n i i Pi ~f~ £» > operazione che evidente- 

 mente non introduce 



Merita di essere notato che, quando le (A) sono veri e propri integrali, 

 vi ha stazionarietà, anche in senso assoluto. 



Infatti, in questo caso, le funzioni P r -J- cost sono in involuzione (mentre 

 in generale si può soltanto asserire che le parentesi (F r , F s ) si annullano, 

 tenendo conto delle (Ai)); e tutte le considerazioni, istituite finora, stanno, 

 anche prendendo inizialmente P r = P r -f- n r (dove le n r sono costanti in- 

 determinate), anziché P r =p r — f r . L'unica differenza consisterà in questo 

 che si avranno, al posto delle (Ai), le 



(A') ? r = rc r (r = 1 , 2 , ... , m) , 



e, al posto di 



H = (H )p l= ... = p m=0 1 



una 



H = (H )p,=7r, , Pni=1Tm • 



Del resto, potremo, come sopra, asserire che, per una qualunque soluzione 2, 

 la sostituzione (11) non introduce il tempo iu H'. Ora ciò equivale a dire 



