— 38 — 



che la sostituzione (10), corrispondente ad una 2 (e per cui quindi si ha 

 (fi(t) — (p 2 (t) = ■■• = (f m (t) = 0) non introduce l in H'. 



Di qua si conclude la assoluta stazionarietà di tutti i movimenti, de- 

 finiti dalle 2. 



4. Criterio energetico di stabilità. — Consideriamo, come sopra, la cate- 

 goria dei movimenti del proposto sistema, conciliabili colle (A'). Le equazioni, 

 che definiscono P 4 - , Xj (i = m -j- 1 , ... , n) in termini del tempo, si otterranno 

 senz'altro dalle (C), ponendo nei secondi membri P x == P 2 ==•••== "S m == 0. 

 Avremo cosi le equazioni 



Per i teoremi ben noti di Dirichlet e di Liapounoff, la soluzione partico- 

 lare Pi = «j , Xj = §i di queste equazioni è stabile allora e solo allora che 

 la funzione H' possiede, per i detti valori a,- , un minimo effettivo; ossia 

 allora e solo allora che la forma quadratica t/ 2 H' è definita. Ecco dunque la 

 condizione necessaria e sufficiente per la stabilità relativa di una generica 2. 

 Tale condizione presenta però l' inconveniente di essere espressa in varia- 

 bili X , P. È affatto indifferente adottare queste o quelle variabili, per di- 

 mostrare delle proprietà; anzi è preferibile riferirsi a quelle, per cui la di- 

 mostrazione si fa nel modo più semplice. Ma, se si devono fare dei calcoli, 

 le trasformazioni disturbano ; ed è indispensabile di evitarle, quando, come 

 nel caso presente, si tratta di un cambiamento di variabili, la cui effettiva 

 determinazione dipende da una questione, eventualmente più elevata di quella 

 che si studia. 



Per la costruzione delle soluzioni 2 abbiamo una regola generale, che 

 si applica a qualsiasi sistema di variabili (e che richiede al più un'opera- 

 zione differenziale d'ordine m — 1). Anche la questione della stabilità deve 

 potersi decidere senza la trasformazione (8), (9) (che implica in generale 

 n — m operazioni successive degli ordini 2 (n — m), 2 (n — m — 1), ... , 2, 

 rispettivamente). 



Osserviamo a tale scopo che, sostituendo in H' le P* , X; (i — m -j- 1 , n) 

 coi loro valori (8), (9), e ritenendo in questi le p x ,p 2 , ... ,p m definite dalle (Ai), 

 si deve ritrovare la funzione H. Si avrà dunque 



e le derivate seconde di H si esprimeranno in funzione delle derivate se- 

 conde di H' mediante formule, che (per essere nulle tutte le derivate prime 

 di H', per i valori considerati Pj = a, , X,- = /?,•) hanno carattere covariante. 

 Ne viene che la forma quadratica c/ 2 H (nelle 2(n — m) -\- m variabili 

 dp m+1 , ... , dp m ; dxi , dxì , ... , dx n ) è riducibile, poiché appunto con una op- 



dt 



^X i = 7>H' 

 UXj ' dt DPi 



(i = m -J- 1 , ... , n) . 



d 2 R = d*W , 



