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portuna trasformazione lineare (i cui coefficienti saranno in generale funzioni 

 di Xi , x 2 , ... , x m ) si cambia in cPH'. 



Constatata così la riducibilità della forma d 2 K ('), supponiamo (il che 

 non implica integrazioni, ma solo un' opportuna sostituzione lineare) di tras- 

 formarla effettivamente in una forma quadratica Q a 2(>i — m) argomenti. 

 Questa Q sarà equivalente a d 2 H' e quindi il criterio di stabilità si potrà di- 

 rettamente desumere dalla forma Q. Concludiamo pertanto: Le 2 sono sta- 

 bili allora e solo allora che Q (forma ridotta di d 2 H) è una quadrica de- 

 finita. 



5. Esempi. — a) Consideriamo il moto di un corpo rigido pesante, fis- 

 sato per un punto Sì. Nel caso generale, quando cioè i tre momenti princi- 

 pali di inerzia, relativi ad Si, sono distinti e il baricentro comunque si- 

 tuato nel corpo, si ha il solo integrale delle aree per i piani orizzontali 



G- 3 — cost. 



Da questo integrale si traggono, nel modo suesposto, or moti stazionari. Un 

 calcolo semplicissimo mostra che corrispondono alle rotazioni uniformi del 

 corpo attorno alla verticale di Si , che coincide nel corpo con una (-) delle sei 

 direzioni, definite, per ogni valore della velocità angolare m, dalle equazioni 



— (B — C) co 2 y 2 y 3 = V (y y 3 — : y 2 ) , — ( C — A) or y 3 Yl = P (* y, — x y 3 ) , 



— (A — B) or y x y 2 P [x y z — y y x ) , in cui è manifesto il significato 

 delle lettere. 



Per il caso di Lagrange e Poisson (ellissoide di inerzia di rivoluzione 

 attorno alla SìO), c'è un secondo integrale (r=cost, colle notazioni abi- 

 tuali) in involuzione col primo. Dobbiamo dunque aspettarci co 4 moti per- 

 manenti. Ed infatti siamo condotti alle così dette precessioni regolari, troppo 

 bene studiate ( 3 ), perchè valga la pena di soffermarvisi un solo istante. 



Se si suppone che non agiscano forze (o più generalmente che sia millo 

 il loro momento risultante rispetto ad Sì), si hanno i tre integrali delle aree 



Gì = cost , G 2 = cost , G 3 = cost . 



(!) Ciò si poteva del resto desumere direttamente dalle (5). Derivandole e tenendo 

 conto delle (B), si hanno le (7') e le 



<^ a H ^ \ ,■ ) g ^ ^ ^ g m ^ 



~òXr ùXs { dXs ) 



Date queste relazioni lineari ed omogenee fra i coefficienti della forma r/'-H, la caratte- 

 ristica del suo discriminante non può superare 2(n — ni). 



( 2 ) Queste sei direzioni sono tutte reali, per valori abbastanza grandi di w. In ogni 

 caso due almeno sono reali. Esse appartengono tutte al cono quadrico (B — C) x y» y% -f- 

 -f- (C — A) y y 3 y t -\~ (A — B) z„ y t = 0. Cfr. in proposito: Staude, Ueber permanente 

 Rotationsaxen, Crelle's Journal, B. 113, 1894. 



( 3 ) Cfr. in particolare la Theorie des Kreisels dei sigg. Klein e Sommerfeld; cap. I, 

 § 6; IH, § 6. 



