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Essi non sono in involuzione, come è ben noto, ma ognuna delle tre coppie 



G, = cost , G? -|- Gf -f- Gi = cost ; 

 G 2 = cost , Gf -f Gì + G3 = cost ; 

 G 3 = cost , G! -j- G! -j- G3 = cost 



è involutoria, e le devono far riscontro oo 4 moti stazionari. Queste tre classi 

 di movimenti non sono altro che le rotazioni attorno ai tre assi di inerzia. 

 La verifica diretta non presenterebbe alcuna difficoltà. Limitiamoci ad osser- 

 vare che le accennate rotazioni dipendono bene da 4 costanti; due per fis- 

 sare la posizione nello spazio dell' asse di inerzia, attorno a cui la rotazione 

 si compie, e le altre due per fissare la posizione e la velocità iniziale del 

 corpo rispetto allo stesso asse, 



b) Nel problema piano dei tre corpi, supposto fisso il baricentro, le 

 equazioni, che definiscono il moto relativo di due di essi, Pi e P 2 , rispetto 

 al terzo P 3 , si possono presentare in forma canonica con quattro gradi di 

 libertà, le due serie di variabili coniugate essendo costituite dalle coordi- 

 nate relative Xx , t/i (i = 1 , 2) di P! e P 2 (rispetto a P 3 ) e dalle compo- 

 nenti pi , qi (i = 1 , 2) delle loro quantità di moto assolute ('). 



Si ha l' integrale delle aree 



2 



Xj {Xi qt — yi pi) = cost . 

 1 



Quali sono i movimenti stazionari, che corrispondono a questo integrale? 



Si trova un risultato ben noto, talché stimo superfluo riportare il cal- 

 colo per disteso. I tre corpi costituiscono un triangolo equilatero di gran- 

 dezza costante e ruotano uniformemente attorno al comune centro di gravità. 

 È il caso più semplice delle soluzioni particolari scoperte da Laplace ( 2 ). 



c) Il moto di un solido non soggetto a forze, in un fluido incom- 

 pressibile, indefinito, comporta, qualunque sia la forma del corpo e la di- 

 stribuzione delle masse, i sei integrali fondamentali, che esprimono la con- 

 servazione del moto del baricentro e del momento risultante delle quantità 

 di moto: 



Pj = cost , F 2 = cost , F 3 = cost ; 

 Gj : ■ cost , G 2 = cost , G 3 = cost . 



Le sei funzioni F, , Gì (e = 1,2,3) costituiscono un gruppo, il quale 

 comprende un sottogruppo involutorio di quattro elementi al più, per es. 



F 1 ,F 2 ,P 3 ,F 4 =|; i Pi G». 



(') Cfr. Poincaré, Sur une forme nouvelle des équatiuns du problème des trois corps. 

 Acta Mathematica, T. 21, 1897. 



( 2 ) Mécanique Còleste, libro X, cap. VI. 



