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Matematica. — Sulle superfìcie dì discontinuità nella teoria 

 della elasticità dei corpi solidi. Nota del Socio Giulio Wein- 



GARTEN. 



Nella teoria dell' equilibrio dei solidi elastici si è considerato fino ad 

 ora, mi sembra, soltanto il caso di un corpo le cui particelle subiscono 

 degli spostamenti della loro posizione naturale, i quali variano da punto a 

 punto con continuità in tutto lo spazio occupato dal corpo stesso. In tale 

 ipotesi, se non agisce nessuna forza esterna nè sul contorno nè entro lo 

 spazio interno, il corpo non è soggetto a tensioni interne. 



Non pertanto esistono certamente corpi soggetti a tensioni interne i quali 

 non sono sottoposti a forze esterne nè al contorno nè all' interno. Per averne 

 un esempio basta immaginare un anello, non del tutto chiuso, di cui si av- 

 vicinino le due sezioni libere e piane attaccandole l' una all' altra con uno 

 strato infinitamente sottile che le saldi insieme. 



Un corpo teso internamente e che non sia soggetto a sforzi esterni deve 

 necessariamente contenere una o più superficie lungo le quali gli spostamenti 

 sono discontinui. Se le tensioni che si hanno nell' interno sono continue in 

 tutto lo spazio occupato dal corpo, esso avrà il carattere d' un solo ed unico 

 corpo: ma, se le tensioni fossero discontinue ove gli spostamenti sono di- 

 scontinui, il corpo dovrebbe ritenersi come avente il carattere di un insieme 

 di più corpi distinti. In quest' ultimo caso la discontinuità non dà luogo ad 

 alcun nuovo teorema generale sulle proprietà interne del corpo ; al contrario 

 se non sussiste alcun cambiamento brusco delle tensioni interne, le discon- 

 tinuità degli spostamenti lungo le superficie sopra ricordate sono soggette a 

 leggi semplici e notevoli che io mi propongo di sviluppare in questa Nota. 



Abbiasi un solido in istato di tensione che non sia soggetto ad azioni 

 esterne e riferiamoci a tre assi coordinati ortogonali x, y, s. Denotiamo con 

 u, v, w le componenti, secondo questi assi, dello spostamento di un punto P 

 della sua posizione naturale e consideriamo queste componenti come funzioni 

 delle coordinate del punto stesso. 



Le tensioni che si sviluppano nell' interno del corpo sono funzioni li- 

 neari delle sei quantità 



~òu !>v l)io ~ìv . lyw ìf . ìi( ~òu , ~òv 

 !>x ' !sy ' ~dz ' Ds l>y ' ~ìx *~ 1>2 1 Dy ' Isx 



le quali sono i coefficienti delle variazioni arbitrarie Sx, Sy, Ss, nella forma 

 quadratica 



Sx Su -j- Sy Sv -\- Ss Suo. 



