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Matematica. — • Sui sistemi lineari di grado zero. Nota del 

 Corrisp. E. Bertini. 



Le considerazioni che seguono sono assai semplici. Tuttavia mi è parso 

 opportuno di pubblicarle perchè conducono a risultati utili non ancora os- 

 servati ; in particolare forniscono una notevole condizione geometrica dell'an- 

 nullarsi identico del jacobiano di n forme in n variabili. 



1. Grado D di un sistema 2 lineare oo r di curve piane è il numero 

 delle intersezioni variabili di due curve generiche del sistema. 11 grado di 

 un sistema 2 è finito (j^. 0) ; perchè, se due curve generiche hanno infiniti 

 punti comuni, cioè una componente comune, variando una delle due curve e 

 tenendo fissa l' altra, si vede che la componente comune, dovendo sempre 

 far parte di quest' ultima, non può variare ed è quindi parte fissa di 2. 



Se la parte variabile di un sistema 2 è irriducibile si ha D > r — 1, 

 e quindi, se r^> l, D > 0. Il caso D = si presenta, oltre che per un 

 fascio, quando la parte variabile di 2 è riducibile, ossia è, per un teorema 

 notissimo, una involuzione in un fascio e soltanto allora. 



2. Suppongasi ora che un sistema 2 sia tale che le curve che passano 

 per un punto contengano anche un punto successivo, cioè ivi si tocchino : 

 dico che 2 è di grado zero. Infatti, se 2 fosse di grado D >■ 0, presi in 

 esso una curva generica e un fascio generico, ogni curva di questo fascio 

 toccherebbe, per ipotesi, quella curva in punti variabili (almeno uno) ; cioè 

 la curva dovrebbe far parte dell' inviluppo del fascio, il che è assurdo, tale 

 inviluppo essendo il sistema dei punti base del fascio. Adunque i soli si- 

 stemi lineari^ per i quali avviene che le curve che passano per un punto 

 si tocchino, sono quelli dati dalle involuzioni nei fasci. 



Se una rete di curve ha la jacobiana indeterminata, ogni punto del 

 piano è di contatto per le curve della rete passanti per esso e viceversa. 

 Segue quindi immediatamente che la condizione necessaria e sufficiente af- 

 finchè la jacobiana di una rete sia indeterminata è che la rete sia di 

 grado zero, cioè una involuzione di 2 a specie in un fascio : proprietà di- 

 mostrata dal sig. A. Levi (') per altra via, che non sembra estendibile allo 

 spazio. Ossia, algebricamente, tre forme ternarie (linearmente indipendenti), 

 di cui è identicamente nullo il determinante jacobiano, sono forme binarie 

 di due forme ternarie dello stesso ordine e viceversa ( 2 ). 



(') Sulle singolarità della jacobiana di quattro superficie (Giornale di Matematiche, 

 voi. XXXIV, 1896), n. 2. 



( 2 ) È poi notissimo e facile a dimostrare che due forme binarie, di cui il jacobiano 

 è identicamente nullo, non differiscono che per un fattore costante e reciprocamente. 



