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3. Le cose precedenti si possono estendere facilmente. Sia S n (n^S) 

 uno spazio (lineare) ad n dimensioni e in esso abbiasi un sistema 2, oo r , 

 di ipersuperficie, cioè di varietà V n _i . Si definisce grado D di 2 il numero 

 delle intersezioni variabili di a V n _, generiche del sistema e si dimo- 

 stra che il numero D è finito 0). Infatti, se due V n _, generiche hanno 

 una componente comune, questa deve essere, per lo stesso ragionamento 

 del n. 1, parte fissa di 2: se tre V„_, generiche hanno una V M _ 2 co- 

 mune, tenendo fisse due di esse e variando la terza, la V n _ 2 . per il caso 

 precedente, non può variare e quindi è varietà base di 2; e, così continuando, 

 si arriva a stabilire che, se n V n _! generiche hanno una linea comune, questa 

 è linea base di 2. 



4. Un sistema 2 di dimensione r <_ n — 1 è di grado zero perchè le 

 V„_i di esso che passano per un punto passano di conseguenza per una Y„_ r 

 (almeno) : quindi n V„_i generiche di 2, per il n. 3, non hanno punti comuni. 



È pure di grado zero un sistema 2 di V„_! riducibili, tale sistema es- 

 sendo, per lo stesso teorema applicato nel n. 1, una involuzione in un fascio 

 (oltre ad una eventuale parte fissa). 



Ma vi è un altro caso da considerare. Se 2 è un sistema lineare oo r 

 (r > n — 1), irriducibile, di grado D = 0, devono n — 1 V„_! generiche di 

 esso avere una linea comune L non incontrata in punti variabili da una 

 n esima Y n -i generica: cosicché, se questa si fa passare per un punto di L 

 (diverso dai punti fissi che essa ha comuni con L), dovrà contenere una 

 parte di L (non tutta per essere r^> n — 1). Ciò significa che le co'"- 1 V,,-! 

 per un punto generico dello spazio hanno comune una linea. La totalità oo"- 1 

 di queste linee si dice una congruenza lineare e il sistema 2 si dice com- 

 posto con tale congruenza. Viceversa un cosifatto sistema è di grado zero, 

 non potendo n sue V„_i generiche avere un punto comune variabile senza 

 avere pure comune la linea della congruenza per quel punto, il che non può 

 essere (n. 3). 



Adunque esistono due tipi di sistemi lineari (senza parte fissa) di di- 

 mensione r^> ìi — 1 e di grado zero : 



1) quelli (riducibili) dati dalle involuzioni nei fasci; 



2) quelli (irriducibili) composti con congruenze lineari. 



5. Suppongasi ora di avere un sistema lineare, di dimensione r^> n — 1, 

 tale che le sue V,,-i per un punto passino per un punto successivo. Dico 

 il sistema essere di grado zero. Infatti, se fosse D > 0, considerando la 

 linea L (variabile) d' intersezione di n V„_i generiche e un fascio generico 

 del sistema, per l' ipotesi, ogni V r _! di questo fascio toccherebbe L almeno 

 in un punto, onde L dovrebbe appartenere all' inviluppo del fascio stesso, 

 il che è assurdo. Dunque i sistemi 2, di dimensione r~^>n — 1, per i 

 quali avviene che le ipersuperficie per un punto abbiano ivi una tangente 

 comune sono soltanto dei due tipi suddetti (n. 4). 



