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Se il sistema è oo", la Yr-i determinata da n direzioni uscenti dal 

 punto (diverse dalla tangente comune) ha nel punto un punto doppio. Re- 

 ciprocamente, se ciò avviene, le V,-_! per il punto hanno ivi una tangente 

 comune. Dunque 1' essere la jacobiana di un sistema lineare oo" [di iper- 

 superficie di S„) indeterminata, è condizione necessaria e sufficiente perchè 

 il sistema lineare sia una involuzione di specie n in un fascio ovvero 

 sia composto con una congruenza lineare. 



Nelle proposizioni di questo numero e del n. 2 si prescinde da parti 

 fisse che possono entrare a far parte di ogni sistema lineare. 



6. Dei due tipi considerati (n. 4) il primo è algebricamente caratte- 

 rizzato dall' essere le forme del sistema forme binarie di due altre forme 

 (in n -f- 1 variabili) dello stesso ordine. 



Quanto al secondo tipo può farsi l' osservazione seguente. Si rappresen- 

 tino per semplicità le linee della congruenza r, con cui è composto il si- 

 stema 2, biunivocamente nei punti di una varietà (ad n — 1 dimensioni) ; 

 la quale poi, come è noto ('), si può sempre riferire biunivocamente ai punti 

 di una ipersuperficie W*„_i di uno spazio (lineare) S*„. Sopra W* n -i le 

 ipersuperficie V„_! di 2 saranno rappresentate da varietà (ad n — 2 dimen- 

 sioni) W*„_ 3 e il sistema 2, per un noto teorema ( 2 ), da una serie lineare 

 di W*„_ 2 sopra W*„_i . Viceversa ogni tal serie lineare (semplice) dà un 

 sistema 2 composto con r. Dicansi y a , ... y n le coordinate di un punto 

 di W* quelle di un punto della linea corrispondente di jT, 



onde si avranno le 



ove le u , u Y ... u n sono forme dello stesso ordine nelle x% : e la serie lineare 

 imagine di 2 sia data sopra W*,,-! dal sistema lineare 



^ Uyi) + K Uyi) + - + K Uvì) = o. 



Allora 2 avrà nel proprio spazio S„ (a meno di una parte fissa) una equa- 

 zione della forma 



fo{ui) + ^i + '•• + hf n (u,) = 0. 



Sicché, osservando inoltre che alla serie lineare di W*„_i data dagli iper- 

 piani di S*„ corrisponde in S„ un sistema lineare co" composto (semplice- 

 mente) colla congruenza r e quindi (n. 5) avente la jacobiana identicamente 

 nulla, e notando infine che le considerazioni fatte si possono invertire, si 



0) Cfr. Segre, Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente 

 infinito (Annali di Matematica, serie II, t. 22), n. 4. 

 ( 2 ) Cfr. Segre, 1. e, n. 27. 



