può dire che il secondo tipo è algebricamente caratterizzato dall'essere le 

 forme del sistema (a meno di un fattore comune) forme (n -j- l) a,ie di 

 n -f- 1 forme (in n -(- 1 variabili) dello stesso ordine, delle quali forme 

 il jacobiano è identicamente zero. 



7. Una maggiore determinazione del 2° tipo dipende essenzialmente 

 dalla natura della congruenza f, cioè della W*„_i. 



Se W*n_i è razionale, cioè rappresentabile biunivocamente sopra un S„_! , 

 le stesse considerazioni del numero precedente mostrano cbe le forme del 

 2° tipo sono forme n arie (a meno di un fattore comune) di n forme dello 

 stesso ordine (in n variabili) e viceversa. 



Ciò si verifica appunto per n = 3. Una congruenza lineare qualsiasi 

 di S 3 è razionale per un teorema di Castelnuovo ( l ) applicato alla involu- 

 zione che la congruenza determina sopra un piano. Adunque, in virtù di quel 

 teorema, 1' ultima proprietà è sempre vera per n = 3. lu particolare si ha 

 che la condizione necessaria e sufficiente affinchè quattro forme quaternarie 

 (linearmente indipendenti) abbiano il jacobiano identicamente nullo, è che 

 siano (a meno di un f attor comune) forme binarie di due forme o forme 

 ternarie di tre forme dello stesso ordine (nelle quattro variabili) ( 2 ). 



8. Si noti infine che la proprietà del n° 5 non richiede la linearità 

 del sistema: basta l'algebricità. 



Anzitutto, con considerazioni simili a quelle del n° 3, si dimostra che 

 il grado D di un sistema algebrico 2, oo", è finito ed inoltre che ogni 

 ente, variabile, comune ad s ( M. u) Y„-i di 2 descrive l'intero spazio 8„. 

 Ciò posto, se le Y„-i di 2 per un punto passano anche per un punto suc- 

 cessivo, deve essere D = 0. Vale, supposto D ^> , la stessa dimostrazione 

 del n° 5, quando si prenda, invece di un fascio, una serie oo 1 qualsiasi di 

 2 (o 2 stesso, se r== 1) e si osservi che L, descrivendo tutto S n , non può 

 appartenere all' inviluppo della serie. 



Un sistema algebrico di grado D = è composto (oltre ad una parte 

 fissa) con un sistema di varietà V n -> (n — 1 > ? > 1): perchè le V„_i 

 per un punto non possono avere un numero finito (>. 1) di punti comuni 

 (variabili), altrimenti ciò avverrebbe anche per n V„_ a generiche del sistema. 



(') Castelnuovo, Sulla razionalità delle involuzioni piane (Math. Ann., t, 44). 



( 2 ) Nella Memoria del sig. S. Kantor: Neue Theorie der eindeutigen periodischen 

 Transformationen in der Ebene (Acta mathem. t. 19); si enuncia la proposizione (teo- 

 rema LXXX) che ogni involuzione in S n ? razionale. Siccome manca ogni dimostrazione, 

 mi limiterò ad avvertire che, se questo teorema è vero, il risultato del presente numero 

 sta in ogni caso. 



