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si sostituisce col suo valore (A), per definire le soluzioni particolari 2, si 

 deve porre 



(B) ' || = , ||'-P0 (* = m+.l,...,n); 



e queste equazioni invarianti traggono le 



^ = (r = l,2,...,m) 



come necessaria conseguenza. 



Si ha pertanto, sopra ogni 2 , cffll = 0. 



2. Ciò posto, si immagini di sostituire alle variabili p , x un sistema 

 qualunque di 2n parametri , s z ,, ... , e 4n , atti a definire lo stato di moto 

 del sistema, almeno in un intorno r di un qualche insieme di valori pl°\Xi 0) 

 delle p . x , soddisfacenti alle (A.), (B). Intendendo di riferirsi a un tale 

 intorno -T, si potrà asserire: 



1° Le (A), espresse per le s, sono atte a definirne m , s i , s 2 , ... , s m , 

 poniamo, in funzione delle rimanenti. 



2° Tenendo conto delle (A), si ha una trasformazione biunivoca fra 

 i due sistemi di 2 (n — m) -\- m variabili p m+ì , ... ,p n ; x l , x 2 , ... , x n e 



3° La funzione H* (s m +i , ••• , *sh), che si ottiene dalla energia totale 

 H* (espressa per le s), sostituendo ? a , s 2 , ■■■ , *«i coi valori definiti dalle (A), 

 coincide con H. cioè ne differisce soltanto per la trasformazione suddetta. 

 Appare di qua che la equazione 



(B*) dR* = 



equivale a d H — 0, ossia alle (B), e può quindi servire (assieme alle (A), 

 espresse per le e) a caratterizzare le soluzioni particolari 2, direttamente 

 in variabili s. 



3. Nella Nota del 20 gennaio ho mostrato come il criterio di stabi- 

 lità delle 2 si desuma dalla forma quadratica d 2 H. Essa è certamente ridu- 

 cibile ad una forma Q in 2 (n — m) argomenti : Secondochè questa Q è o 

 no definita, le 2 sono stabili od instabili. A vero dire, ho ivi considerato 

 soltanto il caso generale, in cui le (B) si suppongono univocamente risolu- 

 bili rispetto alle fi , x\ (i — m -St l, ... , n), e quindi la forma Q non è 

 ulteriormente riducibile: L'enunciato criterio di stabilità vale però in ogni 

 caso (') (semprechè, bene inteso, le (B) sieno compatibili e si abbiano 



(') Rimangono soltanto escluse le soluzioni multiple, corrispondenti (con ovvio lin- 

 guaggio geometrico) a punti non ordinari della varietà definita dalle (B) : Per questi casi 

 singolari, non basta evidentemente la forma d"H a decidere la questione della stabilità, 

 ma bisognerebbe ricorrere ai differenziali d'ordine superiore. 



