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quindi effettivamente soluzioni 2). Lo si dimostra senza difficoltà, ripren- 

 dendo per un momento le variabili P, X, adoperate in quella occasione, e 

 la corrispondente espressione H' di H. 



Infatti dire che le (B) (pur essendo compatibili) non sono risolubili 

 rispetto alle pi , sci equivale a dire che le equazioni 



-sii' ^H' 

 (B r ) W^ 0, it^ tf^w + L •••.») 



non sono indipendenti (pur ammettendo soluzioni comuni). Ne viene che il 

 determinante funzionale delle (B') si annulla per i valori, che verificano le 

 equazioni stesse. 



Ma questo determinante funzionale è il discriminante della forma d 2 H'; 

 e il suo annullarsi esclude che la forma stessa sia definita. Le soluzioni 2 

 sono dunque tutte instabili. 



Ora la quadrica d 2 H equivale pur sempre alla d 2 H', e si potrà perciò 

 in questo caso far dipendere da meno di 2 (n — m) argomenti. In altri ter- 

 mini le forme ridotte Q (a 2 (n — m) argomenti) della d 2 H sono a lor volta 

 riducibili e quindi non definite. c. d. d. 



4. Dalle ipotesi del § 2 segue immediatamente che la quadrica d 2 H* 

 equivale alla d 2 H (si passa dall' una all' altra mediante la trasformazione, 

 di cui sub 2°, estesa ai differenziali dei due sistemi di variabili). Ne viene 

 che d 2 H* è riducibile e ogni sua ridotta Q* (in 2 (n — m) argomenti) serve, 

 al pari di Q, a decidere la questione della stabilità. 



I coefficienti della forma d 2 H* dipenderanno in generale da alcune delle 

 variabili « m+1 , ... , s 2n (quelle — e ve ne ha m almeno — che non riman- 

 gono vincolate dalle (B*) ). Possiamo per altro star certi che i caratteri al- 

 gebrici della forma rf 2 H*, e quindi anche d'una sua ridotta Q*, non di- 

 pendono dai valori particolari, attribuiti a queste s. 



Due sono infatti i casi possibili: ole (B*) si possono risolvere rispetto 

 a 2 (n — m) delle s; o il numero delle (B*) indipendenti è più piccolo 

 di 2 (n — m). Si vede subito, ritornando anche una volta alle variabili P, X, 

 che ci troveremo nell' uno o nell' altro dei due casi, secondochè le (B') sono 

 o meno indipendenti. Nella prima ipotesi, ogni Q* equivale sempre, qua- 

 lunque sieno i valori delle m e, che possono apparire nei coefficienti, alla 

 medesima quadrica d? H', a coefficienti costanti. Nella seconda ipotesi, 

 ogni Q* è riducibile, indipendentemente dai valori delle s. 



5. Riassumendo, abbiamo la regola seguente : 



La costruzione delle soluzioni particolari 2 si può effettuare diretta- 

 mente , ricetto a qualisivogliano parametri s 1 , s 2 , ... , e Sn , atti a definire 

 lo stato di moto del sistema. 



Si eliminano dapprima, a mezzo degli m integrali o reiasioni inva- 

 rianti conosciute (supposte, bene inteso, in involuzione) altrettante varia- 

 bili s dalla espressione della energia totale H*. 



