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che nel punto k{x , y) ove si trova il peso P, e che, in questo punto, G'da 

 assume il valore finito P, si ha: 



(6) ^x' ìy ') = ~r{x\y'-x,y)Y. 



Questa foraiola semplicissima risolve il nostro problema. 



Introducendo coordinate polari e sviluppando in serie la funzione r si 

 otterrebbero due sviluppi diversi a seconda che il punto (x' ,y') è più vicino 

 o più lontano dal centro che il punto A ; le forinole che così si otterreb- 

 bero coinciderebbero con quelle ottenute dal Clebsch ('). 



In modo analogo si può procedere se invece di un peso solo si hanno 

 vari pesi applicati in differenti punti della piastra ; la formola che si otter- 

 rebbe è la seguente: 



(6') C(j/,y') = £y i r(x\y';x l ,y l )F i , 



ove (Xi , y ( ) indica il punto d' applicazione del peso P t . Ne segue che lo 

 spostamento prodotto in tal guisa non è altro che la somma di quelli che 

 sarebbero prodotti da quegli stessi pesi, supposti però agire isolatamente. 



La formola (5) vale per un'area qualunque a\ r essendo sempre data 

 dalla (3), ove G indica la seconda funzione di Green relativa all'area che 

 si considera ; ne segue che anche le (6), (6') sono valide per l' area a'. La 

 funzione G la si sa costruire per varie classi di aree ( 2 ). 



Vediamo qualche proprietà dedotta dalla (6), relativamente ad una 

 piastra qualunque a'. 



Indicando con M il punto (x ,y') potremo scrivere la (6) brevemente così: 



(60 t(M) = £r(M,A)F; 



togliamo ora il peso P dal punto A ed applichiamolo nel punto M, allora 

 avremo nel punto A: 



£(A) = £r(A,M)P, 



(') Notiamo a questo proposito che nell'espressione delle funzioni Z 1 del Clebsch 

 (pag. 776) vi è una lieve inesattezza, perchè nel trinomio entro la prima parentesi ( — ) 

 bisogna cambiare di segno l'ultimo termine e scrivere cioè — r invece di -j-'V 



( 2 ) Cfr. ad es. Levi-Civita, Sali' integrazione dell'equazione J 2 J 2 u = (Atti della 

 R. Accademia delle Scienze di Torino, voi. XXXIII, a. 1898); Almansi, Integrazione della 

 doppia equazione di Laplace (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie 5 a , voi. IX. 

 1° semestre 1900). 



