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il massimo valore assoluto di J 2 u , allora ricordando le (8) avremo: 



(10) \D%\<XtU*-*0 (') 

 onde: 



quindi : 



(10') ID'^K^E'-'AR 2 ^, 

 da cui : 



\j*u 2 \<(wy<i>, 



e in generale: 



(10") |D%|<^R 4_i (*R 2 } M <P 



\jhij\<(xwy a>. 



Prendiamo ora le serie: 



(11) Y)hi = D ! 'tó + £D'ti L + + . . . 



e diciamo T il massimo valore assoluto di D'u : se ne deducono, in virtù 

 delle (10), (10'), (10"), le disuguaglianze seguenti: 



| D ! «| < T + li R 4_i <P | ì\ % | SI R 2 \ j , 







dalle quali risulta che le serie (11) sono assolutamente ed uniformemente 

 convergenti in a e su s se è soddisfatta la condizione: 



(12) |£|AR 2 <1. 

 Dopo ciò si ha dalle (11): 



Jhl = J 2 U + %J*Ui + Z-J 2 u z + . . . 



onde 



f r J*u da = ^ f rj°-u da + f r^ 2 Ml rfc + . . . 

 87rJ G $7TJc 



dalla quale segue facilmente: 



U = Ua + ? — f iV'^ rfff . 



Le derivate di quarto ordine di u esistono e sono finite poiché, come è 

 facile verificare, la funzione A^u ammette derivate di primo ordine continue ; 

 si trae poi senza difficoltà, dall'equazione precedente: 



(') In questa relazione e nelle seguenti è sottinteso che i assume i valori 0.1,2,3. 



