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in modo opportuno, dare al prodotto infinito una delle due forme: 



77(1 -A n ) 77(1 + A„) 



i 1 i 



^ A n < 1 / ^ A„ 



delle quali la prima conviene a prodotti che sono infinitesimi, l' altra a 

 quelli che sono infiniti per n = <x>. 



oo 



Supponiamo prima che il prodotto 77(1 -{- C„) sia infinitesimo. Poniamo 



i 



(1) P„ = 77(1 + 0,.) 



e distinguiamo due casi: 



a) per ogni n fissato ad arbitrio esiste un numero positivo m tale che 



Pm-m 0. 



/?) . . . è invece P n+m < 0. 

 Nel caso «) si estragga dalla successione P„ una successione monotona 

 di numeri positivi tendenti allo zero: 



(2) Pa, , Pa, , ... Pa )( , • • • 



Nel caso /5) si costruisca una successione analoga alla (2) coi valori 

 assoluti di una successione monotòna di numeri negativi tendenti allo zero. 

 In ogni modo, ponendo: 



(3) 



Pa.. 



— 1 — A„ H 



cioè: 



(4) |(l + e« H+1 )(l+€« n+2 )(l + C an+ 3) ... (1 + C« )| = 1-A WH 



i-i- 1 



avremo : 



(5) |P a J = P w i = (l_AO(l — A 2 )... (1— A„) 

 ed il prodotto infinito si trasformerà nell' altro 



00 



(6) 77 (1 — A n ) , 



1 



dove è: 



(7) l>A n >0. 



Rendiconti. 1901, Voi. X, 1° Sem. 31 



