L'esistenza di una tale funzione è messa fuori di dubbio quando si con- 

 sideri che, per prodotti infiniti che non divergono più rapidamente ài ni, 

 le formule note di interpolazione ( l ) dànno modo di costruire immediatamente 

 una funzione analitica f(x) con le proprietà richieste. Per successioni JP„( 

 divergenti più rapidamente di n ! , trovato un numero intero p abbastanza 

 grande perchè il logaritmo di indice p : log (J)) P n , non diverga più rapida- 

 mente di ni, si costruirà una funzione analitica (p(n) soddisfacente le con- 

 dizioni 



g>(n) = log m P„, 



poi si prenderà 



f{x) = e e - e 



Dalle condizioni imposte alla f(x) si deduce che il limite della 

 f(x) per x = oo , non può essere diverso da quello della successione \P n \ 

 (« = 1,2,3, . . .) se quest'ultimo è finito, e che, quando sia infinito, 

 anche f(x) è per x=<x> infinita dello stesso ordine. 



Dalla (5) poi si ricava che la funzione f{%) appartiene alla prima 

 classe ( 2 ), e cioè che si ha 



^ ( e(x) infinitesima per x = oo . 



8. Di qui in particolare : / prodotti infiniti 11(1 -\- A„) pei quali è 

 soddisfatta la condizione 



lim A„ = 0, 



soddisfano la reiasione 

 (7) 



lim e~ an n(l + A„) = 



K=oo 1 



a reale positivo qualunque 



9. Se consideriamo la funzione 

 (8) «(*) = 1 , 



questa, per le ipotesi poste per la f(x), è finita continua, e derivabile in 



(') Cfr. p. es. Bendixon. Acta Matematica, t. IX, pag. 1, 1886. 

 ( 2 ) Cfr. nel citato lavoro Sulla determinazione dell'ordine di infinito, il § dove sono 

 studiate le funzioni della prima classe. 



