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tutti i punti a distanza finita della parte positiva dell'asse reale, e nei punti 

 x = n , assume i valori 



(9) «(») = A„ . 

 Si avrà dunque 



(#>0, «(^)>0 



(10) » lim a(x) = . 



Dalla (8) si ricava 



1 j w ~ A*) A*) A*)" A*) ' 



ed anche 



«(#) 



£(iogA*)) /V) 



Ho però dimostrato al loc. cit. che: Se una funzione infinita per 



^ = oo, appartiene alla prima classe, anche le sue derivate di qua- 



f'( v -4- tìì 



lunque ordine vi appartengono ; ciò prova che lim "y — = 1 , ed in 



X—ao I \X) 



conseguenza di ciò 



lim — 



Oog A*)) 



(13) lim - A a{x) = 1 . 



dx 



Da ciò si conclude: 



n 



Se il prodotto P„ = i7(l -f- A r ) si rappresenta mediante il valore 



che nel punto x = n assume una funzione f(x) continua e monotona della 

 variabile reale x, la quantità A n è, per n = oo , infinitesima dello stesso 

 ordine, e con la stessa parte principale della derivata logaritmica di f{x) 

 nel punto x = co . 



Si noti che la formula (13) è valida sotto la condizione che la f'(x) 

 appartenga alla prima classe ; ciò non avviene solo per funzioni f(x) infinite, 

 per #=oo, cioè per prodotti infiniti divergenti; ma si verifica anche per 

 funzioni f(x), finite nel punto x = co , che hanno derivate logaritmiche ap- 

 partenenti alla prima classe, (cfr. il n.° 38 del citato lavoro: Sulla deter- 

 minazione ecc.). 



Osservando che quando f(x) è finita, f'(x) è infinitesima e che il rap- 

 f( x _i_ e) 



porto 1 — non P uo tendere a limite maggiore di 1, si conclude che 



la a(x) non è in nessun caso infinitesima di ordine inferiore a quello della 

 derivata logaritmica di f{x), e che, condizione sufficiente per la validità 



