— 278 — 



delle (13) è che la a{x) sia della prima classe, cioè che A n tenda allo 

 zero meno rapidamente di . 



Si può infine notare, e ciò risulterà anche da quel che segue, che i 

 prodotti infiniti corrispondenti a successioni A n infinitesime di ordine supe- 

 riore a quello di — , sono molto rapidamente convergenti, e si possono 



quindi studiare anche coi metodi ordinari. 



D'ora innanzi, quando parleremo di prodotti convergenti, supporremo 

 sempre che la condizione (13) sia per essi soddisfatta. 



10. È noto che se una funzione è infinita di ordine finito, la sua 

 derivata logaritmica è infinitesima del primo ordine: di qui si deduce: 



00 



Se il prodotto 77(1 -j-A„) non diverge più rapidamente di n a {a reale 

 i 



positivo) la quantità k n è infinitesima del primo ordine per n = oo. 



11. Supponiamo che a(x) sia,, per x = oo , infinitesima di ordine su- 

 periore od uguale al primo. 



Dalla formula (13) avremo in questo caso : 



( f'(x) _ s{x) 



(14) ! f{x) x 



( (x^>x \e(x)\<Ca, a positivo determinato) 



e, nel caso che f(x) ammetta anche la derivata seconda, 



( f"(x)_s l (x) 



(15) \ f{x) x 2 



( (X>X |si(#)|<» 0) 



Ora si ha: 



f{x-\-l)-f{x) f(x) f'jx + d) 



, { ) ~ m *m 



\ J\x) r{x) f'{x + 6) , 



f{x) ^ 2f(x) ' f'{x) • 



f"(x -4- 6) 



Ricordando che lim ' =1, facendo uso delle (14), (15), avremo: 



X=OD I \X) 



(17) j f{x) x 1 



( (x^>x | f 2 (#) | <! fl ' a reale positivo). 



(') Sulla determinazione ecc. Cfr. il § in cui studio le proprietà infinitesimali delle 

 derivate. 



