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Si noti che, se t(x) è infinitesimo, e 2 (x) lo è di ordine non minore, 

 donde risulta che nel secondo membro della (17), il secondo termine è in- 

 finitesimo di ordine inferiore, almeno per una unità, al primo termine. 



Eicordando che f(0) = 1, avremo, integrando, 



(i8) r«(*)<te=ig f(x)+ 



«^0 



ga(g) 

 x 



(x^>x |«s(^)|< a) 



ed anche qui si può notare che, se log f(x) è infinitesimo per x = co , 

 lo è di ordine superiore. 



x 



In particolare: Se a(x) è atta alla integrazione definita nell'inter- 

 vallo (0 , oo), si ha 



J-»0O 

 a{x) dx = lim log f(x) , 

 X—<x> 



ed anche, per la osservazione fatta al n. 7, 



a(x) dx = \gn (1 + AJ, 



1 



e di qui 



(21) j 77(1 + A n ) = e J " 



a(w) = A„ . 



Questa formula ci dà una espressione, che mi pare notevole, del prodotto 

 infinito nel caso che esso sia convergente. Dalla condizione poi che la a(x) 

 sia integrabile, sufficiente come abbiamo visto per la sua validità, si rica- 

 vano facili criteri di convergenza per il prodotto stesso. 



In particolare avremo ('): 



Il prodotto infinito 77(1 -f- A n ) converge tutte le volte che A„ , 

 per n = co diventa infinitesima di ordine non minore di quello di una 

 qualunque delle espressioni: 



1 1 1 



n x+ v- ■ n (log n) l+ v- " n log n (log log n) 1 ^- ' 



nelle quali p è un numero determinato differente da zero e positivo, 

 diverge se diventa infinitesima di ordine non maggiore di ima qualunque 

 delle espressioni: 



Jl _L_ i 



n ' n log n ' n log n log log n ' 



(') Dini, Fondamenti, pag. 360. 



