13. La formula (18), nel caso che a(x) non sia infinitesima di or- 

 dine inferiore al primo, ci dà modo di determinare l' ordine di infinito del 



prodotto n(l -\- A„) , quando questo diverga. 

 i 



Ed infatti da essa si ricava 



(22) | e ° =/(#) e 00 

 \(x^>Xo, |« 3 (#)|-<# , a reale finito positivo) 



e, di qui 



S a(.x)dx 



(23) Hm e_^ = l 



#=oo f{^) 



E cioè, il prodotto infinito H(l -j- A„) è infinito del medesimo ordine 



rx 



ed ha la medesima parte principale della funzione <p(x) = a(x) dx, per 



/n 



X = 00 . 



Sia per esempio 



lim (nk n ) =p ; 



X=<x> 



sarà anche 



lim xcc(x) =p , 

 (p positivo per le formule (10)) 



e di qui 



ct(x) dx —p hgx + e(x) log X 







(x > x a | s(x) \<C * , « positivo arbitrario minore di p) ; 

 tenendo conto delle (23), avremo 



Z7(l+A r ) 



(24) lim 



Cioè : Se k n è infinitesima del primo ordine ed è p la sua parte princi- 

 pale, il prodotto infinito diverge come n p . 

 Come secondo esempio, sia 



lim (ftlog n) A n =p; 



