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oo 



il prodotto 77(1 -f- A„) ha ordine di infinito eguale a quello della funzione 



(30) 



S a(.x)dx 



e 



a(n) = A n 



per x — oo . 



Qualunque poi sia l'ordine di infinitesimo della A„, potremo sempre asserire 



oo 



che il prodotto 77 (1 + A„) non diverge più rapidamente di quel che faccia 

 i 



la funzione (30) per x = oo . 



15. L' applicazione di questo criterio è spesso assai facile. Sia per esem- 

 \s n 



pio A„ infinitesimo come - s — ; troveremo, con calcoli assai semplici, che il 



00 



prodotto 77(1 -J- A„) diverge come n ìgn . Il suo ordine di infinito, usando i 

 i 



simboli introdotti al loc. cit. si può dunque esprimere col numero transfi- 

 nito X x . 



III. 



17. Si abbia ora un prodotto infinito 77(1 -}-A„) per il quale non è 



soddisfatta la condizione 



lim A n = . 



M=oo 



Supponiamo ancora di rappresentare con a(x) una funzione finita, con- 

 tinua, derivabile in tutto l' intervallo (0 , oo) e soddisfacente le condizioni 



a(n) = k n . 

 Osserviamo anzitutto che, se si ha 



(3) lim T+T- = ] ' 



cioè se 



(4) lim (An+i — A n ) = , 



il prodotto dato appartiene alla seconda classe,, ed il suo ordine di infi- 

 nito non è minore di quello della espressione 

 (5) e an (a reale positivo qualunque) 



