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Kappresenterò con s 2 la frazione essenzialmente positiva — . Questa 



costante s ha le dimensioni ^tt^t " = f„_ 7 " = [t~ x 1 e risulta quindi 



[Cj \_mrji 



omogenea a p ,-q , r. 



Aggiungendo alle equazioni precedenti le formule di Poisson, relative 

 ai tre coseni y x , y 2 , y 3 , si ha in definitiva il sistema differenziale 



n dp _ do dr 



1 dyi dy 2 dy 3 



1F = y i r-y 3 q 1 - = y 3 p- Yl r, — = Yl q-y 2 p. 



La forza viva del corpo vale \ (Ap 2 -j- B^ 2 -j- O 2 ) = C(p 2 -J- q 2 + f >° 2 ) , 

 il potenziale, dovuto alla gravità, Tx yi = Gs 2 y l . 



La energia totale H è dunque espressa (sopprimendo il fattore costante C, 

 che si può del resto sempre supporre eguale ad 1 con opportuna scelta del- 

 l' unità di massa) da 



B=p 2 -{-q 2 -f * r 2 — s 2 /,. 

 Le (K) ammettono, oltre all' integrale delle forze vive H = cost. e al- 

 l' identità geometrica yì-\-yt-\-yl=l, i due integrali algebrici 



( (1) 2(y,p + y 2 q) + y 3 r = Is , 



(A) (2) j (p + iq) 2 + s 2 ( yi + frd HO» — + s 2 (/> - frO I = 



( =(s 2 y ì -\-p 2 — q 2 ) 2 -\-(s 2 y 2 -\-2pq) 2 = fi i s i (& = j/— 1), 



nei secondi membri dei quali sono posti in evidenza i fattori di omogeneità 

 s,s 4 , affinchè le costanti l e ,u si presentino come puri numeri. (È poi le- 

 cito, nel secondo membro della (2), scrivere fx 4 , pur intendendo ,u reale, 

 poiché la forma del primo membro mostra che si tratta di quantità 21 0). 



La (1) è chiaramente l'integrale delle aree per i piani orizzontali; la (2) 

 l' integrale scoperto dalla Kowalevsky. Essi sono tra loro in involuzione, in 

 quanto, adottando per es. come variabili canoniche gli angoli & , / , y> di 

 Kirchhoff e le loro coniugate p%,Pf,Py , la (1) diviene j; 9 = cost, come è 

 ben noto, mentre p , q , r ; y x , y 2 , y 3 , e per conseguenza anche il primo 

 membro della (2), rimangono indipendenti dall' angolo di precessione <p. 



2. Soluzioni particolari del sistema (K), per cui r = 0. 

 dr 



Supponendo r = , la -j- = s 2 y 2 mostra che anche y 2 è identicamente 



nulla; inoltre, da 2 ~ = qr, segue p=cpst. La equazione ~ = y 3 p — y x r 

 si riduce a y 3 p = 0, il che porta y 3 = 0, ovvero p = 0. Nel primo caso, 

 dovrà essere Yi — —1> e quindi, in causa della ^l = y l q — y z p ì q = Q ì 

 con che le (K) rimangono tutte soddisfatte. Si tratta evidentemente (q = r = 0, 



