Diciamo n la normale al contorno s, diretta verso l' interno di A. Sarà: 



D ( ~ò , ~ò a \ 



— = — ( • COS a -4- — • COS p ) ', 



T>n \1>x 1 ìy J 



e le equazioni precedenti potremo scriverle : 



(19) — = ( - . x 1 — y°-\cos t 3, — = 2(xcosi3 — ycosa). 



Affinchè queste equazioni siano compatibili colle (14) (l a e 2 a ), è ne- 

 cessario che sia : 



(20) (r^pr ^ — cos ^ ~ ' I ^ x 008 ^ — ^ cos ds ~ ^ ' 



Ricordando le note formule di trasformazione 



(21) f/'cos ads = f — d& , f/cos/Sds = f — dA, 



vediamo che la seconda delle equazioni (21) è soddisfatta. La prima diventa: 



(22) ~ 2 Jj dk = ° ' 



e questa pure è soddisfatta, giacché l' asse delle s passa per il baricentro 

 di A (§ 1), e quindi l' integrale J A ydk , rappresentando il momento statico 

 di A rispetto ad una retta baricentrica, è nullo. 



Dunque le equazioni (19) e (14) sono compatibili tra loro, e definiscono 

 le funzioni y>(x ,y), ip(x ,y), a meno di costanti addittive, a cui attri- 

 buiremo valori arbitrari 



Riprendiamo ora la seconda delle equazioni (18). Essa può scriversi: 



(23) = — T 3 + e {x cos « -f- y cos /?) . 



vìi 



Questa equazione sarà compatibile colla terza delle (14) purché sia: 

 ì — ^3 + c{x COS a -\- y cos/?)( ds = 0, 



ovvero : 



(24) c f (se cos a -f- y cos f?) ds =s f r 3 ds ; 



(') Questa indeterminatezza dipende dal fatto che non teniamo conto delle condr 

 zioni relative alle basi del cilindro. 



