quindi 



algebrici della forma Q sono sempre gli stessi, qualunque sia il valore di e ( l ), 

 sarà opportuno, per maggiore semplicità, di riferirsi al valore e = 0, che 

 compete al punto II e per cui quindi si deve porre 



Yi = [4 — v 2 , y 2 = 0. 

 dH dH 



Con ciò le superiori espressioni di — — , — — divengono 

 L dp dq 5 



¥ = ~4 ; ; (/ " 2+r2)( ^" fs2y3), 



Dalle (7) e (8), introducendovi i valori attuali, abbiamo 



dr _4_ ^ dr ^ 



dp Ya dq 



dm n 



Ne concludiamo (limitandoci al caso generale, in cui il discriminante della 

 forma Q non si annulla) ( 2 ) che la condizione di stabilità è espressa dalla 

 disuguaglianza 



(13) (v* — fi 2 )(l— ^ — 3r 4 )>0. 



Se 1 — jtt 4 — 3r 4 >• 0, la (13) si riduce a v 2 > {.i 2 . Vi ha dunque sta- 

 bilità allorché Sì resta fuori di r. 



L' opposto avviene per 1 — fi 4 — 3 i- 4 < 0. La condizione di stabilità è 

 allora che i2 cada entro r. 



(!) Bisogna soltanto accertare che si tratta di un valore del parametro effettivamente 

 assunto lungo la particolare soluzione, che si considera. Non si può infatti escludere a 

 priori che l'insieme di tutti i valori del parametro rimanga distinto in più intervalli 

 discreti, corrispondenti a soluzioni diverse, e quindi eventualmente a diversi caratteri della 

 forma Q. Nel caso attuale si tratta proprio di un valore del parametro effettivamente 

 raggiunto, per quanto abbiamo osservato più innanzi. 



( 2 ) Il discriminante di Q si annulla per v" — {j.- = 0, ovvero 1 — ^ — ov* = 0. Per 

 decidere se le corrispondenti soluzioni sono o no stabili, bisognerebbe prendere in esame 

 i differenziali di H d'ordine superiore al secondo, ciò che qui omettiamo per brevità. Si 

 noti che si tratta necessariamente in tali casi di soluzioni multiple (delle equazioni in- 

 varianti caratteristiche). Potremmo anche dire, con ovvia estensione di un appellativo in- 

 trodotto dal sig. Poincaré (Acta Mathematica, T. VII, 1885), soluzioni di biforcazione. 

 La condizione (13) è appunto conforme al principio dello scambio delle stabilità. 



