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Matematica. — Sulle serie doppie di Taylor. Nota di Ono- 

 rato Niccoletti, presentata dal Socio Luigi Bianchi. 



È dovuto al Pringsheim un criterio che dà le condizioni necessarie e 

 sufficienti perchè una funzione f(x) di una variabile reale x sia sviluppa- 

 bile in serie di Taylor, relativa ad un valore a, in un intervallo {a , a -f- R). 

 È perciò necessario e sufficiente che la f(x) abbia nell'intervallo le deri- 

 vate di tutti gli ordini (nel punto a solo le derivate a destra o a sinistra, 

 secondochè R è positivo o negativo) e che inoltre il resto di Cauchy 



tenda uniformemente allo zero, quando a tende all'infinito, per tutti i valori di 

 h e 6 che soddisfanno (per R>- 0) alle disuguaglianze : h <R;0 < < l('). 



Nulla di simile si ha per le funzioni di più variabili reali. La ragione 

 ne va forse cercata nel modo col quale si ottiene per esse funzioni lo svi- 

 luppo di Taylor. Limitandoci, per semplicità, alle funzioni di due variabili 

 reali x ed y, il processo che ordinariamente si tiene per trovare per esse la 

 formula di Taylor, corrisponde infatti a cercare la somma della serie sem- 

 plice, che si deduce dalla serie doppia di Taylor, relativa alla funzione data : 



riunendo insieme i termini che appartengono ad una stessa diagonale ('-) 

 della (E) (per i quali cioè fi -f- v ha un valore costante). Una qualsiasi delle 

 ordinarie espressioni del resto esprime intatti la differenza tra la funzione 

 f(x y) e la somma dei primi n termini della serie semplice così definita. 

 Non è nota invece, almeno a mio credere, alcuna formula che esprima la 

 differenza tra il valore della funzione f{x y) e la somma S m „ dei primi 

 (m -4- 1) (n -j- 1) termini della (E), pei quali cioè è < p < m , < v < n. 



Una tal formula io mi propongo di dare in questa Nota: essa conduce 

 in modo semplice ad estendere, nel senso ora detto, alle funzioni di due va- 

 riabili reali le forme del resto di Schlòmilch e Roche, di Lagrange e di Cauchy ; 



R„(« , h) = 



(l — o) n - 

 (n — l)l 



f 0ì) (a + Oh) . h< 



n 



(E) 



(!) A. Pringsheim, Zum Taylor'schen Lehrsatz. Mairi. Ann., Bd. XLIV; s. 73. 

 ( 2 ) A. Pringsheim, El. Theorie der un. Doppelreihen. Mundi. Beridite, 1897 S. 121. 

 Loudon — Weber Doppelfolgen uni Doppelreihen (Math. Ann. Bd. LUI). 



