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estendendo inoltre a queste funzioni le considerazioni svolte dal Pringsheim 

 per le funzioni di una sola variabile, essa porta ad un criterio necessario e 

 sufficiente per la sviluppabilità di una funzione f(x y) in serie doppia (reale) 

 di Taylor, quando si ponga insieme la condizione dell' assoluta convergenza 

 della serie stessa nel campo che si considera. Questa ulteriore condizione, 

 imposta invero dal metodo di dimostrazione, è però anche necessario sia sod- 

 disfatta quando si voglia che la serie doppia converga incondizionatamente 

 nel suo campo di convergenza e rappresenti quindi la funzione data, in qua- 

 lunque modo i suoi termini vengano ordinati od associati, in particolare 

 quindi anche quando, sommandola per diagonali, si tenga l' ordinario pro- 

 cedimento che serve ad ottenere la formula di Taylor. 



È quasi inutile aggiungere come formule e risultati affatto analoghi 

 valgano per funzioni di un numero qualunque di variabili reali. 



1. Siano u e v due funzioni delle due variabili reali x ed y, finite e 

 continue per x < x < x, , y Q ^~_y .flyi insieme con quelle loro derivate, 

 che dovremo considerare. Indicando col simbolo )f\ ,b il valore di una fun- 

 zione f(x y) nel punto (a , b), un semplice processo d' induzione dimostra 

 senza difficoltà la formula ('): 



^y» »•* J x a \ i oy ox òy ) xyo 



X, '' ^xv- 1 Dx m -< J -ìy n{ J ~t~ 



±yy(_ iy^ — °- - °- : - 



~ -t-' a -t v i Iìx"-" 1 W 1 l)x m ~" ìy n -' t ) 



lx o y 



'«1 CVl 



+ X K- ( ~~ ir tr 1 S^V^L* + 



^Xo ì-^ j ' ^ m -' u - ajrU y + 



_l v v (- ìv— j ^~* v ^"-^ ) | 



Poniamo nella (A) : 



7)^ "ty m ! ?z ! 



(') Cfr. Bianchi, SuW estensione del metodo di Riemann ecc. E. Lincei, 3 marzo 1895; 

 Niccoletti, Sull'estensione ecc. Mem. della R. Acc. di Napoli, voi. Vili, s. 2 a , 1896. 



