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eseguendo le integrazioni e ricordando la formula di Taylor per le funzioni 

 di una sola variabile ('), otteniamo la formula cercata: 



(B) f{ Xx yd = ^zrlé^éi (*« - fa - y.y + R™ , 



o o f* • v ' \ oJ>i ùy 'Xftysi 



dove si è posto: 



(1) Rmn = X m -J- Y„ — Z mn z 



= h£; (*• - *r (S^L, *> + à£ - (PL* - 



-\m+n + 2 /■ 



(ar, — (yj — yf ' +1 ' — dx dy 



2. Il mfó Rmn, dato dalla (1), esprime, come è chiaro dalla (B), la 

 differenza tra il valore della / '(x • y) nel puuto (xi y^) e la somma S m „ dei 

 primi (m -\- 1) (n -f- 1) termini della corrispondente serie (E) di Taylor. Esso 

 può porsi agevolmente sotto una forma priva di segai integrali che estende 

 al nostro caso la nota formula di Schlomich e Roche. Applicando infatti il 

 teorema del valore medio a ciascuna delle tre parti X m , Y„ , Z m „ di R mn , si 

 ha senza difficoltà alcuna la formula, cui alludevamo: 



(2) Rmw = e i - *o w (gfi jy^a + 



-s+1 / -sm+n+ìf \ 



(1— 9 3 ) m - r+l (1— OJ "- 



! W ! T.S \ D^"'"*" 1 ^""""'/[^o+^ca-^^oj.T/D+Biti/,-;/,,)! 



con < di < 1 (t = 1 , 2 , 3 , 4) ; <p ,r <. w + 1 , < # ,s < -f- 1 . 

 Ponendo in questa formula successivamente: 



p = r = m -j- 1 , y = s = » -f- 1 ; p = q — r = s = l; 



si ottengono due formule, che possono riguardarsi come la generalizzazione 

 di quelle di Lagrange e di Cauchy. 



Poniamo infine nella (B) X\ = x -j- h, yi == y -f~ k ; essa diverrà: 



(B*) A*. + A , y, + A) = — (t-T^) ^ + Rmn 



ed il resto R ìnn , che scriveremo sotto la forma di Cauchy, sarà: 



(') Cfr. ad es. Genocchi-Peano, Calcolo infinitesimale, pag. 332. 



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