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con < di < 1 ; e le tìj dipenderanno naturalmente dagli indici m ed n, 

 dalla funzione f, dai valori di h e di k. 



3. Si supponga ora che si abbia: 



(4) /<*+».» + f- f*. ^ * • * 



per tutti i valori di h e k che soddisfano alle disuguaglianze 0^^<^Bi, 

 O^L#<CRa, e per questi valori di h e # la serie del secondo membro sia 

 assolutamente convergente, converga cioè la serie dei valori assoluti dei suoi 

 termini. Per gli stessi valori di h e di k è allora lecito derivare termine a 

 termine la serie tante volte quante si vuole e ciascuna delle serie derivate 

 sarà nello stesso campo assolutamente convergente. Poniamo allora col Pring- 

 sheim (*): 



(lo) <prs{x + h , y -f k) = 



= y 



(m — r) ! (?z — s) ! 



^m_ r ^„_ s = 0,1,2...); 



«o2/o 



sarà (p rs {x h,y -\- k) una funzione finita e continua con tutte le sue 

 derivate delle due variabili x = x Q -{-h,y = y -\-k nel campo considerato. 

 Essa ha inoltre evidentemente le proprietà seguenti : 



(6) 



(8) 



( ^x m - r ìy n - 

 ) = 



l>x m l>y f 



(7) 9r«M*9 + * , y. + *) = — ^ ifen ^° + ~ (»" 0,1,2...); 



Poniano A = A x + A 2 , # =\&i -f- A 2 con A, , & s numeri positivi o nulli ; 

 avremo per la (6): 



(prs(x + h , y + A) = $p«(#o + Ai + ^2 , y + *i + A 2 ) = 



e sviluppando in questa serie tutti i binomi {h v -f- A 2 ) m , (Ai + A 2 ) n e riu- 

 nendo i termini che portano le stesse potenze di h 2 e k 2 (come è possibile, 

 poiché la serie stessa avendo tutti i termini positivi è assolutamente con- 

 vergente), avremo per la (7): 



(9) 



«T™(#o + ^ -f- h z , y th Ai -f- A 2 ) = 9>w(«o + ^ » + A) = 



_ _1 y»(j?o + fej ; ?/o + A,) 



— 2-.m,n m \ n ) -j^m ^» 



(!) Cf. A. Pringsheim, ì?b»! Taylor^schen Lehrsatz, s. 63. 



