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per tutti i valori di hi , h 2 , h x , k.% definiti dalle disuguaglianze: 

 (IO) 0<h l <lh-\-h 2 = h<&i) <.#,<. A, B»; 



e per questi valori di h x , h 2 , ki , # 2 la serie (9) è ancora assolutamente con- 

 vergente. Poiché inoltre i suoi termini sono tutti positivi e la sua somma 

 è una funzione finita e continua di h e k, e quindi di hi,h 2 , ki, k 2 nel 

 campo definito dalle (10), si avrà, per un teorema noto sulle serie a termini 

 variabili (*), che in questo campo la serie stessa convergerà anche in egual 

 grado: assegnato quindi un numero reale a positivo e piccolo a piacere, 

 potranno trovarsi due numeri |ier (funzioni in generale degli indici r ed s), 

 tali che quando sia m (i, n >. v , in tutto il campo definito dalle (15) 

 il resto R mn della (9) sarà minore di or ; e poiché tutti i termini di R mn 

 sono positivi, si avrà a fortiori: 



1 



m ! n 



I V n+n <Prs \ 



h? k < a 



e quindi anche per la (8) e la (7): 



(11) 



1 



mi ni 



m+n+r+s 



r 



ìx m+r ìy* 



Xd+htf'/D+Ti^ 



K k£ < a 



per tutti i sistemi di valori di m ed n, che soddisfano una almeno delle 

 due condizioni m > \i , n > v. 

 Poniamo ora: 



(10') h x = he x , h 2 = (l — B^h; O<0,<1, 0< A<B,; 



A, = ke s , k z — (1 — 9i)k; < 2 <. 1 ; <. k <. R 2 ; 



moltiplicando la (11) per A r si avrà, per gli stessi valori di m e di w e 

 per tutti i valori di h,k, 8i,6 2 definiti dalle (10'), la formula: 



(12) 



(1 — g,) m (1 — 6 t ) n 



mi ni 



m+n+r+s 



h m+r k n+s <cr, 



4. Facciamo nella (12) successivamente: 



a) r = l , n = s = 0,6 2 = l ; è) s==l , m = r=0, #i = 1 ; 

 c) r=s = l, e x = 6 3ì 6t = d^ 



( l ) Dini, Fondamenti, p. 110. 



