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indicando con fi , v due numeri tali che per i valori precedenti di r e 5 la (12) 

 sia soddisfatta, avremo: 



(13) 



a) 

 b) 

 c) 



a -^r r"-'fl*. + M.,yo + *) hm+l 



(1 — e*) n ì^ffo + h, ijo ±6tk) 



ìv 



n ! ~ìy n+l 



per m> \i 

 per % > y 



mi ni 



h m+1 ìi n ^ 



per _> jit oppure n > v . 



Ne segue che ciascuna delle tre espressioni: 



< J »! l>y n + l 



(i - (i _ o 4 )» y^y^o + m ; y. + M) , , , , 



; mini i)x m+l !>y n+l 



tende uniformemente allo zero per fwtfft i valori di h, k,6 l ,0 2 , 3 ,0 4 che 

 soddisfano alle disuguaglianze : <. A < Ri , jfi # <C R2 , o < fl» <= I 

 (« = 1, 2, 3, 4), quando w ed n si facciano tendere all'infinito, o ambedue, o 

 uno solo, in un modo qualunque. 



Inversamente, se queste condizioni sono soddisfatte, la serie (E) converge 

 assolutamente per 0.< h < ttft k < R2 e rappresenta la funzione 

 /"(^o + A, y -f* k). 



Poniamo infatti nelle (13) a), b), c) rispettivamente: 



a) k = 0, 0<A=A 1 <R 1 , e 1 = 0; è) A=0, 0</£ = A 1 <R 2 , 2 = O; 

 c ) < h = A, < R, , < k = k x < R 2 , 3 = 4 = ; 



ne segue facilmente che i termini della serie (E) sono per h = h u k = k x tutti 

 inferiori in valore assoluto ad un numero finito: la serie stessa convergerà 

 dunque assolutamente ed uniformemente per tutti i valori positivi nulli di 

 li e k rispettivamente minori di h x e A,, cioè, poiché hi e k x sono prossimi 

 ad Ri ed R 2 tanto quanto si vuole, per tutti i valori di h e k tali che sia: 



< A < R, , < £ < R 2 . 



La sua somma, per questi stessi valori di h e di k, sarà uguale inoltre 

 alla f (# -j- h , y -f- k), poiché per la formula (3) del n. 2, la differenza tra 

 la f(sc -f- h, y -f- k) e la somma S mn dei primi {m-\-l) (w-j-1) termini 



