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Matematica. — Sulle equazioni integrali: 



V Hx) x n dx = (n = , 1 , 2 , ...). 



Ja 



Nota di Carlo Severini, presentata dal Corrisp. 0. Tedone. 

 L'inesistenza di una soluzione effettiva ( 1 ) delle equazioni integrali: 



f * 



(1) 6{x)x n dx = (« = 0,1,2,...), 



Ja 



oggetto, com' è noto, di numerose ricerche ( 2 ), è qui stabilita in modo diretto, 

 semplicissimo. Ciò ha particolare importanza per lo sviluppo della teoria 

 di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali: sussiste infatti il seguente 

 teorema, del quale è nota parimenti una dimostrazione diretta, elementare. 



Affinchè il sistema delle funzioni ortogonali rispetto alla funzione 

 caratteristica p(x) : 



Y h (x) (/.'== 0,1, 2,...), 



sia chiuso, è necessario e sufficiente che l'equazione di chiusura, ad esso 

 relativa : 



f b p(x)[f(x)Jdx=f h K , A*= [ b p(x)f(x)Y k (x)dx, 

 Ja o sa 



(') Una soluzione delle (1), sommabile insieme col suo quadrato, si dice effettua, 

 se è diversa da zero in punti di (a , b), costituenti un insieme di misura non nulla, o, 

 brevemente, se non è quasi dappertutto uguale a zero. 



( a ) Cfr. Lerch: a) hlavnt vèté theorie funkri vytvorujiclch [Rozpravy ceské Aka- 

 demie cisare Frantiska Josefa prò védy, slovesnost a uméni v Praze, II, Kl., Bd. I (1892). 

 n. 33, S. 1-7]: b) Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel [Acta 

 Mathematica, Bd. XXVII (1903), S. 346-347]; Phragmén, Sur une extension d'un théo- 

 rème classique de la théorie des fonctions [Acta Math., Bd. XXVIII (1904), S. 361-363]; 

 Stieltjes, Correspondance d'Hermile et de Stieltjes [Bd. II (Paris, 1905), pp. 337-339]; 

 Landau, Ueber die Approxmation einer stetigen Funktion durch eine ganze rationale 

 Funktion [Rendiconti del Circolo matem. di Palermo, tomo XXV (1908), pp. 343-315]; 

 Moore, On certain Constants analogous to Fourier's Constants [Bulletin of the ame- 

 rican mathematical Society (New York, May, 1908)]; Stekloff, Sur la théorie de ferma- 

 ture des sistèmes de fonctions orthogonales dépendani d'un nombre quelconque de varia- 

 bles [Mémoires de l'Acadéraie imperiale des Sciences de St. Pétersbourg, classe physico- 

 mathématique, voi. XXX, n. 4 (1911), pag. 25]; Severini, Sulla teoria di chiusura dei 

 sistemi di funzioni ortogonali [Ptendic. del Circolo matematico di Palermo, tomo XXXVI 

 (1913), pp. 16-17]; Cipolla, Sui sistemi di funzioni ortogonali che ammettono un si- 

 stema complementare finito [Rendiconti della R. Accademia delle Scienze fisiche e ma- 

 tematiche di Napoli (1915), pag. 13]. 



Rendiconti. 1921. Voi. XXX, 1° Sem. 3 



