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sìa soddisfatta da tutte le funzioni di un sistema di funzioni : 



<Pi(x) (a — 0,1,2,..,), 



sommabili insieme coi loro quadrati, e tali che non esistano soluzioni 

 effettive per le equazioni integrali: 



•b 



0(x) <pi(x) dx = H 



(* = 0,1,2,...). 



1. Escludiamo dapprima l'esistenza di una soluzione continua, non nulla, 

 delle equazioni (1). 



Ammesso che una tale soluzione possa esistere, s' indichi con 6i(x). 

 Sia («Zi , a; 2 ) un intervallo, interno all'intervallo {a , 6), nel quale la d^x) 

 si mantenga di uno stesso segno ed in valore assoluto maggiore di una 

 quantità m > 0. Se si pone : 



(ce C$ $2) 



y>[x) = 1 



risulta : 



y{x)>\ 

 < (f{x) < 1 



Se ne deduce: 



lira \.' l e 1 {x)[<f(x)Jdx = + 



n—oa \J J 'l 



e quindi a maggior ragione : 



(b — af 



(xi < so <C # 2 ), 

 (a^as^^i ; a; 2 <C^ = ^)- 



lim 



mentre per ogni n si ha 



'CCi 



diix) l<p{x)2 n dx 



\_<p{x)Jdx 



0,(.x) [>(;c)] n rfa; 



< x[<C %2 < «5), 



+ 00 , 



M(£ — a — x 2 -\- Xi) , 



M essendo il massimo valore assoluto della d^x) nell'intervallo (a , b). 

 Non può dunque essere: 



Ci 



O ì {x)[(f>{x)J l dx = 



Ja 



(« = 0,1,2,...), 



( x ) Cfr. Severini, loc. cit. (2), pp. 18-19. Cfr. anche Lauricella, Sulla chiusura dei 

 sistemi di funzioni ortogonali e dei nuclei delle equazioni integrali [Rendiconti della 

 R. Accademia dei Lincei, voi. XXI, serie 5 a (1° sem. 1912), pp. 682-683]. 



