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come dovrebbe invece verificarsi, se 0\{x) fosse una soluzione effettiva 

 delle (1). 



2. Dopo quanto precede è facile dimostrare, che non può nemmeno 

 esistere per le (1) una soluzione sommabile insieme col suo quadrato, la 

 quale non sia quasi dappertutto uguale a zero. Neil' ipotesi contraria, indi- 

 cando con 6 2 (x) questa soluzione, pongasi : 



(D(x)= \ X d t {x)dx (a^x^b). 



Ja 



Si ha: 



f x n dx = \x n ®(x)J a — n f <P(cc) x n ~ x dx {n = 1 , 2 . ,..), 



Ja Ja 



e poiché : 



Q(a) —. 4>{b) = , 



risulta : 



CI 



'a 



4>(x) x n ~ l dx = (» = 1.2, ...) • 



La <l>(x) è dunque una soluzione continua delle (1), e deve aversi (§ 1) 

 identicamente : 



(t>(x) = 0; 



quindi : 



a>'(x) = o . 



Poiché quasi dappertutto risulta ( x ): 



<J>'(x) = d 2 {x), 

 il teorema è senz'altro dimostrato. 



Matematica. — Su due proposizioni di J. W. Lindeberg e 

 E. E. Levi, nel Calcolo delle variazioni. Nota I di Leonida To- 

 nelli, presentata dal Socio S. Pincherle. 



J. W. Lindeberg ( 2 ) ha dimostrato, per gli integrali in forma para- 

 metrica i • « 



(1) Ic= f F(x,y , x' ,y')dt 



Jc 



del Calcolo delle variazioni, la seguente notevole proposizione : 



f 1 ) Cfr. Lebesgue, LeQons sur Vintégration et In reckerche des fonctions primi- 

 tives, pag. 125 [Paris, Gauthier-Villars (1904)]]. 



( 2 ) Ueber einige Fragen der Variationsrenhnung [Mathemat. Annalen, Bd. LXVII 

 (1909 j, pp. 340-354]. 



