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« Se C è una curva, aperta e priva di punti multipli, dotata ovunque 

 di tangente e curvatura, sempre variabili in modo continuo, sulla quale 

 siano soddisfatte, in senso stretto, le note condizioni di Legendre e We-' 

 ierstrass, scelti comunque due numeri positivi s e e\ si può determinarne 

 un altro q in modo che sia sempre Ic^>Ic , per ogni curva ordinaria ( J ) 

 C avente gli stessi estremi della C , appartenente tutta all'intorno (q) di 

 questa curva e soddisfacente, inoltre, alla condizione [condiz. a)~] che risulti 

 maggiore di s la lunghezza complessiva dei suoi archi in ogni punto dei 

 quali la tangente alla curva forma un angolo maggiore di s con la tan- 

 gente alla C nel prede della normale condotta, per il punto stesso, alla C e ». 



Necessitandomi, per certe mie ricerche, una estensione di tale teorema, 

 sono stato condotto a confrontarlo con un'altra proposizione, da me stabilita 

 altrove ( 2 ) e che qui riproduco : 



" Se C è una curva continua e rettificabile, aperta e priva di punti 

 multipli, e l c è un integrale (1) regolare, scelto comunque un numero 

 positivo ó, è possibile di determinarne un altro q in modo che sia sempre 

 le — Ic >(>, P er °o al altra curva C, continua e rettificabile, appartenente 

 propriamente all' intorno (q) della C„ ( 3 ) e soddisfacente, inoltre, alla con- 

 dizione [condizione a)] L — L ><f, dove L e L indicano le lunghezze 

 delle curve C e C , rispettivamente » . 



E poiché ho potuto constatare che le due condizioni a) e a) risultano 

 equivalenti, quando siano ambedue portate sulle curve C„ e C del teorema 

 del Lindeberg, sono stato indotto a cercare di superare la difficoltà che, 

 nell'estensione di tale teorema a curve C non aventi ovunque tangente e 

 curvatura variabili in modo continuo, presenta la formulazione stessa della 

 condiz. a), col sostituire a questa condizione quella a). Sono così pervenuto 

 alla seguente proposizione generale ( 4 ) : 



« Se è una curva continua e rettificabile, aperta e priva di punti 

 multipli, e in ogni suo punto (x , «/„) i' 1 Qul esista la tangente alla curva 

 stessa è 



E(a? , ?/ ; cos O , sen O ; cos , sen 0) > , 

 per tutti i tali che — O sia distinto da zero e da un multiplo intero 



(') Composto cioè di un numero finito di carchi, aventi ovunque tangente variabile 

 in modo continuo. 



( 2 ) Sul caso regolare nel Calcolo delle variazioni [Rend. del Circolo matematico 

 di Palermo, tomo XXXV (1° sem. 1913)]. 



( 3 ) Intendo con ciò che la C appartenga tutta all'intorno (q) della C ed abbia i 

 suoi estremi distanti meno di q dagli estremi corrispondenti di questa curva. 



( 4 ) Per la dimostrazione di questa e delle altre proposizioni contenute nella pre- 

 sente Nota, rimando al 1° volume dei miei Fondamenti di Calcolo delle variazioni, dei 

 quali si sta ora iniziando la stampa presso la Casa Editrice Zanichelli. 



