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intendendo come tali quelle forme dello S„ (a , a x , ... , a„) che si ottengono 

 eguagliando a zero un seminvariante di f . E invero, come segue dal teo- 

 rema di Bruno dimostrato al n. 5, ogni relazione algebrica tra seminva- 

 rianti produce una relazione formalmente identica tra i relativi covarianti, 

 e viceversa. 



E da una tale concezione del problema, convenientemente trasformata 

 ed elaborata, che mi propongo di dedurre in questa Nota la rappresenta- 

 zione tipica dei covarianti. 



14. Riprendiamo la considerazione del gruppo Sì delle similitudini 

 di C n che caratterizza i seminvarianti di f. Diremo che due punti P e Q 

 di S n sono equivalenti rispetto a tal gruppo, se esiste in esso qualche tras- 

 formazione non degenere che muta P in Q . 



L'insieme dei punti di S n equivalenti ad un generico punto P. inclu- 

 sivi per ovvie ragioni d'algebricità anche i punti limiti di successioni di 

 puntuequivalenti a P ( 1 ), è una superficie algebrica P variabile in un 

 sistema algebrico M , oo"- 2 , d'indice 1. 



Una ipersuperficie seminvariante J v di S„ , contiene ovviamente la F 

 passante per un suo punto generico; sicché se le F si concepiscono come 

 elementi d'una varietà W„_ s (algebrica, anzi, come vedremo tra poco, razio- 

 nale) la è ivi rappresentata da una V„_ 3 , e viceversa ad ogni V„_ 3 

 di W (escluse eventualmente convenienti V„_ 3 fondamentali) corrisponde 

 un seminvariante di f . 



Possiamo anche sostituire alla W X involuzione segata dalle F sopra 

 una V„_ 2 di S n , ad esempio sopra uno spazio lineare S„_ 2 ; la determina- 

 zione dei seminvarianti di f si riduce allora a quella delle V n _ 3 apparte- 

 nenti a tale involuzione. 



15. Indichiamo con S uno spazio S„_ 2 passante per lo S n _ 3 osculatore 

 a C n in U e non contenuto nello S„_i osculatore a % = 0. Assunto questo 

 Sn_ 3 come spazio improprio entro S coli' introduzione di coordinate non 



omogenee Zi = -— , le equazioni di S saranno del tipo z x = iti\ , z ì = m ì . 

 a 



Tenendo conto delle equazioni di Sì, che, a norma del n. 2, si pos- 

 sono scrivere p. es. sotto la forma 



(X , /t parametri), si stabiliscono facilmente le proprietà seguenti : 



a) Se non è m\ — m 2 = , cioè se S non è uno spazio generatore 

 del cono seminvariante hessiano a % a 2 — a\ — 0, esiste una ed una sola 



(!) L'omologo di P per una trasformazione degenere di Sì può essere indeterminato, 

 ma non lo è se quella trasformazione si considera come limite d'una trasformazione non 

 degenere, per una variazione continua dei parametri. 



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