ottenersi, a meno di fattori o divisori del tipo a%(a a 2 — a\)$ , il cercato 

 seminvariante g>. 



18. A conferma delle previsioni, veniamo agli sviluppi effettivi. Poniamo 

 nelle (8) g l == 1 , z z = , z\ =f= — , e risolviamole rispetto a z 3 ,z ( , ... , z n 

 eliminando X , p. , Avremo con qualche calcolo 



(11) 2i = g ig ~l , (f=3,4, ...,«), 



le forme gì delle variabili #j essendo date dalle espressioni 



(12) ffi = ( - 1)* t (- a»- 1 at h a h . (i = 2 , 3 ») . 



Poiché gli S„_ 3 coordinati s 3 = , Zi — , ... ,z n == sono mutati in sè 

 dalla (9), così g 3 , g 4 , ... , g n saranno seminvarianti di f\ e lo stesso può 

 dirsi di g 2 giacché, come si ricava dalla (12) g 2 = a^a 2 — a\, è il seminva- 

 riante hessiano di f. 



Tratteniamoci brevemente su questi seminvarianti, e sui corrispondenti 

 covarianti che indicheremo con G t , G 3 , ... , G„ . 



Anzitutto, poiché gì è di grado e peso uguali ad i, dalla formula 

 m = 2p — ni ( l ) che dà l'ordine m d'un covariante in funzione del grado l, 

 e del peso p del suo termine principale, abbiamo: 



Il covariante G* ha grado i ed ordine (n — 2) i . 



Inoltre poiché Qi non contiene , a^ , ... , a n , cosi si ha che: 



Il covariante G,- è n — i conico e si ottiene per proiezione dal co- 

 variante analogo delle forme d'ordine i. L'unico covariante non conico 

 è G M , che ha rango 1 . 



L'interpretazione geometrica dei covarianti trovati, si riduce dunque 

 a quella di G„ , che può così enunciarsi : 



L'ipersuperficie 4 P relativa al covariante G« è caratterizzata dalle 

 proprietà seguenti: 



1) È d'ordine n ed ha come spazio (n — l)-plo lo S n -\ osculatore 

 a G n in P; 



2) Passa semplicemente per la C" toccandone in ogni punto lo S„_! 

 osculatore. Omettiamo la semplice analisi formale dimostrativa ( 2 ). 



(') Questa formula può dimostrarsi geometricamente, ma ci dispensiamo dal farlo, 

 per brevità. 



( 2 ) I nostri covarianti G; moltiplicati per f, danno i covarianti associati ad f di 

 Hermite. Cfr. i termini principali dati dalla (1 2) con quelli assegnati per « = 2,3,4,5 

 dal predetto A, nella citata Memoria. I G,- stessi coincidono poi coi covarianti che Clebsch 

 al Cap. VII del suo trattato indica con cp it come prova una opportuna verifica. 



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