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19. Sostituiamo ora nel primo membro della (10) al posto delle z% le 

 loro espressioni (11). Eseguendo i calcoli, e, tenuto conto della condizione 

 a cui deve soddisfare ip, si trova che il numeratore della trasformata è 

 una forma *P(£/ 2 , #3 , ••• , g n ), isobarica nelle g, e tale che ponendovi «, = 0, 

 a = a z {Hi = , St == 1) se ne deduce la tft resa omogenea e moltiplicata 

 per una potenza di a . Ne segue che il seminvariante *P stacca su S la 

 stessa V„_ 3 segata da (p (a meno d' intersezioni improprie) ; e pertanto si 

 ha (n. 16) 



<P = a°*g\ ®(g* ■ g 3 , •• , g») (« , fi interi). 



Se /? fosse negativo, il polinomio *P nelle a , ... , a n dovrebbe risul- 

 tare divisibile per ma basta porre a x = tenendo conto delle (12) per 

 riconoscere che ciò può avvenire solo se la condizione di divisibilità è sod- 

 disfatta considerando *P come funzione di g 2 , g 3 , ... , g n . 



In altre parole #P*P è pure funzione intera (e isobarica) delle g; indi- 

 candola ancora con *P, e passando dai seminvarianti ai covarianti, avremo 

 dunque il teorema: 



Ogni covariante od invariante <P d'una forma binaria f d'ordine n 

 pud rappresentarsi coli' espressione 



d> = f x *P(G Z , G 3 , ... , G„) , 



nella quale l è un numero intero positivo negativo, e *P una forma 

 isobarica degli n — 1 covarianti G, i cui termini principali sono dati 

 dalla (12). 



Matematica. — Sur le thèorème d'existence des fonctions 

 abéliennes. Nota di S. Lefschetz, presentata dal Socio G-. Castel- 

 nuovo. 



1. Dans cette Note, écrite sur l'invitation très aimable de M. Castel- 

 nuovo, j'avais d'abord l'intention d'exposer ma solution de la question qu'il 

 traite dans ce mème fascicule des Rendiconti, telle que je l'avais donnée 

 dans mon Mémoire Bordin. À la rérlexion il m'a paru plus intéressant de 

 revenir sur la question et de montrer, ce que je n'avais pu faire alors faute 

 de temps, comment ma me'thode permet d'arriver au thèorème fondamental 

 de la théorie des fonctions abéliennes en se basant uaiquement sur les pro- 

 priétés de détìiiition de ces fonctions. 



Soit donc Si une matrice à p lignos et 2p colonnes et <?(&, , Uì , ... , u p ) 

 une fonction de p variables complexes. On suppose que 



a) Le parallélépipède aux périodes, D, correspondant à Si de la ma- 

 nière usuelle, est à 2p dimensions, ferme. 



