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b) La fonction <p est enti ère ou méromorphe, avec au rnoins un zero, 

 l'ensemble de lous ses zéros restant invariant quand on ajoute les périodes 

 aux u. 



c) Il n'existe pas de cornbiuaison linéaire des u s'annulant en tout 

 point de cet ensemble. 



Il s'agit de montrer, en partant de ces seules bypothèses, qne Sì est, 

 selon la locution maintenant classique de M. Scorza, une matrice de Rie- 

 maim — c'est là le théoreme fondamental. 



2. Il résulte d'abord de suite de b) que l'ensemble des zéros forme une 

 multiplicité analytique à 2p — 2 dimensions. Considérant les éléments de la 

 frontière de U qui sont parallèles, comme homologues au sens usuel de 

 l'Analysis Situs, on délinit une multiplicité fermée que nous appelerous 

 toujours U. Numérotons les arètes partaut d'un mème sommet. i , 2 , ... , 2/), 

 la fi e correspondant à la [i e colonne de Sì. Les faces à le dimensions forment 

 base minima pour les cycles à k dimensions — nous les désignerons par 

 (ii , iz , ••■ , fa), les indices entre parenthèses étant ceux des arètes correspon- 

 dantes, leur ordre dérlaissant l'orientation de la face. 



3. La multiplicité E lieu des zéros de (p intérieurs à U en est un 

 cycle à 2p — 2 dimensions. 



Comptons maintenant avec Poincaré les points d'intersection de deux 

 multiplicités M,M', positiveraent ou i égativement suivant l'orientation re- 

 lative des multiplicités en ces points. le no rubre total ainsi obtenu étant 

 désigné par (M , M'). En particulier posons (E , (fi , v) ) — — — m^. 

 Les m seront tous des entiers finis pour un choix convenable du système 

 « primitif » de périodes, donc pour tout autre aussi. En se servant de la 

 propriété que (M,M') — si M <~ ou on trouve aisément 



E~ 2 ( — !)"• »i Ml (i ? , n . •• , hp) ; 



(ii <i i 2 ; i 3 <d ii <C ■ • • <C isp ; n iiombro de permutations dans la sèrie des i). 



La fonction g>(u l — e x , u 2 — e 2 , ... , u p — e p ) a exactement les mèmes 

 propriétés que et il y a un cycle correspondant ~E -- désignons par E 2 

 son intersection avec le premier, en adoptant une détìnitio.n convenable pour 

 son orientation. On trouve de méme 



E 2 ~ 2 S(— 1)" », m hU (U ,»;,..., i tp ) 

 (*i < it ; < i 4 : h < h < • • • < itp) ■ 



Ceci peut-étre continue et on trouve finalement 

 où Mp est le coefficient de dans le développement du déterminant de 



