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dere e semplificare i procedimenti applicati dal sig. Humbert al caso di due 

 variabili ('). Ritengo perciò opportuno raccogliere le mie ricerche in questa 

 Nota e in altre successive. 



1. Data una matrice di p righe e 2p colonne a elementi complessi 



(1) 



la costruzione di una funzione abeliana di p variabili, la quale ammetta 

 i 2p sistemi di periodi forniti dalle verticali della (1), può ricondursi, come 

 è noto, alla costruzione di funzioni intermediarie, cioè funzioni olomorfe 



al finito <p (u t , 

 uguaglianze 



(2) 



. u p ) dotate di una quasi-periodicità definita dalle 2p 



= 9(«, , ... , u p ) e -*™^i»> + -+h,i»p> + i>-i (1= l , 2 , ... , 2p). 



Le X e le fi sono costanti, quest'ultime prive di interesse. 

 Sotto quali condizioni esistono siffatte funzioni? 



Supposto che esista la funzione (p{(u)) soddisfacente alle (2), formiamo 

 coi periodi w e colle X (dette talvolta periodi di seconda specie) il deter- 

 minante 



(3) 





... 





8 = 



ft> p] . . . 







X u . . . 











Vedremo che ó è un intero ; potremo supporre <? = , eseguendo, se 

 occorre, uno scambio tra due verticali del determinante. Chiameremo à il 

 determinante della funzione (p . 



Si dimostrano facilmente le seguenti proprietà: 

 a) Le espressioni 



(4) tó u - X ìh — w lk X u -\ f- w P i Xp k — <Op h X pi = m ih (i , k = 1 , 2 , ... , 2p) 



( J ) Frobenius, Journal fur d. r. u. a. Matliem.. voi. 97 (1883); Humbert, Journal 

 de Matti. (V e s.), voli. 5 e 6 (1899-1900); Scorza, Rendic. Circolo Matem. di Palermo, 

 tomo 41 ( 1 9 1 G). Mentre correggo le bozze mi giunge la notizia della morte di G. Hum- 

 bert. Invio un reverente saluto alla memoria di questo scienziato, le cui belle ricerche 

 sulle funzioni abeliane hanno ispirato, nell'ultimo decennio, tanti lavori della scuola 

 italiana. 



