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lori attribuiti ai parametri q . Ora, poiché la (20) è la trasformata della 

 forma (9) attraverso le successive trasformazioni a coefficienti reali eseguite 

 sulle x,y e sui periodi (1), segue che la forma (9) conserva sempre lo 

 stesso segno quando al posto delle x e delle y si pongano le parti reali 

 ed i coefficienti dell'unità immaginaria dei periodi di una qualsiasi com- 

 b -'ne sione lineare delle variabili primitive u x , ... , u p . Diremo collo Scorza 

 sta la (9) è una forma riemanniana principale della matrice (1). 



Jn conclusione, e tenuto conto che il ragionamento si può invertire, 

 possiamo enunciare il teorema: 



Affinchè esista una funzione intermediaria coi periodi (di prima 

 specie) (1) e gii interi caratteristici m ih è necessario e sufficiente che la 

 matrice (1) ammetta una forma alternata riemanniana principale, e pre- 

 cisamente la (9), i cui coefficienti sono gli elementi del determinante ag- 

 giunto di ||j»jft||. 



Matematica. . — Invarianti e covarianti metrici nelle defor- 

 mazioni di specie superiore delle superficie. Nota IY di E. Bom- 

 piani, presentata dal Socio G. Castelnuovo C). 



1. Dedico questa Nota alla interpretazione geometrica degli invarianti 

 Gaussiani già introdotti ( 2 ) limitandomi ad accennare i risultati per le de- 

 formazioni di 2 a specie. 



2. Data una superfìcie di S„ (n > 5) con S 5 2-osculatore generico esiste 

 in ogni punto P della superficie una normale ben determinata (che dirò 

 normale ombelicale) e su di essa un punto (che dirò centro di curva- 

 tura ombelicale), contenuta nello S 5 2-osculatore in P, caratterizzati da 

 una delle seguenti proprietà: 



1) La proiezione ortogonale della superficie sullo S 3 individualo 

 dal piano tangente in P e dalla normale ombelicale ha in P un ombelico ; 

 il centro di curvatura della superficie proiezione nell'ombelico è il centro 

 di curvatura ombelicale. 



2) Tutti gli S n _ 2 normali alla superficie nei punti infinitamente 

 vicini a P incontrano lo S 5 ^-osculatore in P nel centro di curvatura 

 ombelicale (relativo a P). 



(') Presentata nella seduta del 16 dicembre 1920. 



( 2 ) Vedansi le 3 Note precedenti dallo stesso titolo ; questi Rendic, voi. XXVIII, 

 2 e 3 no?. 1919; voi. XXIX, 18 génn. 1920. Ricordo che ho chiamato invarianti e cova- 

 rianti Gaussiani quelli che pur contenendo derivate d'ordine v ~j- 1 delle coordinate dei 

 punti della superficie sono tali per deformazioni di specie v ; cioè, mentre dipendono 

 (apparentemente) dai coefficienti delle prime v -\- 1 forme fondamentali, si possono cal- 

 colare mediante quelli di sole v forme L t , ... L v . 



RbhdioohtIì 1921. Voi. XXX, 1° Sem. 8 



